天津市部分区学年高三上学期期末数学试题Word格式.docx
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中，
，记
的前
项和为
，则（）
6．已知偶函数
在区间
上单调递增，若
的大小关系为（）
C．
7．将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，则下列说法正确的是（）
的最小正周期是
上单调递增D．
上单调递减
8．已知双曲线
：
的右焦点为
，点
在
的一条渐近线上，若
是原点），且
的面积为
的方程是（）
9．已知函数
，若关于
的方程
恰有三个互不相同的实数解，则实数
的取值范围是（）
二、填空题
10．
是虚数单位，若复数
满足
________.
11．
的展开式中含
项的系数是________（用数字作答）.
12．已知
，且
的最小值是_______.
13．已知半径为2的球的球面上有
不同的四点，
是边长为3的等边三角形，且
平面
为球心，
与
在平面
的同一侧），则三棱锥
的体积为______.
14．设点
为圆
上四个互不相同的点，若
_______.
三、双空题
15．设
是等差数列，若
_______；
若
，则数列
项和
四、解答题
16．在
中，内角
所对的边分别为
.已知
.
⑴求证：
成等差数列；
⑵若
，求
和
的值.
17．每年的12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在2021年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：
每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.
⑴求各个年级应选取的学生人数；
⑵若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；
⑶若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记
表示该名学生答对问题的个数，求随机变量
的分布列及数学期望.
18．如图，在三棱柱
分别为
的中点，
；
⑵求二面角
的正弦值；
⑶已知
为棱
上的点，若
，求线段
的长度.
19．设椭圆
的左、右焦点分别为
在椭圆上，
为原点.
⑴若
，求椭圆的离心率；
⑵若椭圆的右顶点为
，短轴长为2，且满足
为椭圆的离心率）.
①求椭圆的方程；
②设直线
与椭圆相交于
两点，若
的面积为1，求实数
20．已知函数
为自然对数的底数）.
⑴当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
⑵讨论
的单调性；
⑶当
时，证明
参考答案
1．B
【分析】
求出集合
，利用交集的定义可求得集合
【详解】
全集
，
又
集合
，因此，
故选：
B.
【点睛】
本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.
2．A
利用
的准线方程为
，能求出抛物线
的准线方程.
抛物线
即
，故选A.
本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.
3．A
分别解两个不等式得到集合
，再利用集合间的关系，即可得到答案.
解不等式
得；
得：
因为
是
的真子集，
所以“
”的充分不必要条件.
A.
本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.
4．B
先求圆心到直线的距离
，再利用弦长公式，即可求得答案.
圆心到直线的距离
所以
本题考查直线与圆相交弦的求解，考查基本运算求解能力，属于基础题.
5．D
根据递推关系求得等比数列
的通项公式，再求出前
，化简可得
数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
D.
本题考查等比数列的通项公式与前
项和公式，考查基本量运算，求解时要注意通过化简找到
的关系.
6．A
根据题意得
上单调递减，利用对数函数的图象与性质可得
，从而利用函数的单调性可得答案.
因为偶函数
上单调递增，
上单调递减.
，即
，所以
本题考查对数函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想的应用和逻辑推理能力.
7．C
根据函数的平移变换求出
的解析式，再一一对照选项验证是否成立.
函数
个单位长度得：
对A，
，故A错误；
对B，最小正周期为
，故B错误；
对C，当
，因为
的子区间，故C正确；
对D，当
不是
的子区间，故D错误；
C.
本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.
8．A
根据三角形的面积及
，求出点
的坐标，再利用点
的坐标求渐近线的斜率，从而得到
的值，再观察选项，即可得到答案.
，所以点
的横坐标等于
，设点
在第一象限，
，只有选项A符合.
本题考查三角形面积公式、双曲线的渐近线、双曲线的标准方程求法，考查基本运算求解能力，求解时只要得到
的值，即可通过代入法选出答案，可减少运算量.
9．D
画出函数
的图象，将问题转化为两个函数图象交点问题，求出直线与抛物线相切时的临界值，再结合图象得到
的取值范围.
的图象如图所示：
将直线
代入
当直线
与抛物线相切时，
或
由于方程
恰有三个互不相同的实数解，
所以两个函数的图象恰有三个不同的交点，所以
本题以分段函数为载体，考查方程的根与两个函数图象交点的转化关系，考查数形结合思想的应用，求解时要注意借助函数的图象进行分析求解.
利用复数的除法运算，求得
故答案为：
本题考查复数的四则运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.
根据二项展开式得
，进而得到
时会出现
项，再计算其系数.
当
时，即
本题考查二项式定理展开式的通项，考查基本运算求解能力，属于基础题.
12．
利用1的代换，将求式子
的最小值等价于求
的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值.
等号成立当且仅当
本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.
13．
作出三棱锥内接于球的图形，再求出三棱锥的高，最后代入体积公式即可得到答案.
如图所示，点
为
的中心，则
本题考查三棱锥与球的内接问题、体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，准确画出图形求出三棱锥的高是解题的关键.
14．
根据
得到
过圆的圆心
，再利用向量的加法法则得
，由向量数量积的几何意义得到等式
，最后求得
向量方向上的投影为：
，代入上式得：
本题考查向量与圆知识的交会、向量的垂直、加法法则、数量积的几何意义等知识，考查方程思想的运用，求解时注意向量几何意义的灵活运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
15．
利用等差数列通项公式求得
，进而求得
求出
再利用分组求和法及裂项相消法求
由题意得：
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法及及裂项相消法求和，考查方程思想的运用，考查基本运算求解能力，裂项相消求和的关键是对通项进行改写.
16．
（1）证明见解析
（2）
（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式得到
，再利用正弦定理证得
，从而证明结论成立；
（2）利用余弦定理
，再由
（1）
，联立求得
的值；
由正弦定理求得
，再利用倍角公式求得
（1）因为
由于在
由正弦定理
，得
成等差数列.
（2）在
由余弦定理，得
由
（1）知
，解得
由正弦定理，得
中，因为于
本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查方程思想的运用和运算求解能力，求
的值时，注意角
这一条件的应用.
17．
（1）高一年级应选取
人，高二年级应选取
人，高三年级应选取
人.
（2）
（3）详见解析
（1）利用分层抽样求得各年级应抽取的人数；
（2）利用计算原理求得基本事件的总数为
，再求出所求事件的基本事件数，再代入古典概型概率计算公式；
（3）随机变量
的所有可能取值为
，利用超几何分计算
（
），最后求得期望值.
（1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为
，由于采用分层抽样方法从中选取
人，因此，高一年级应选取
人，高
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