天津理工大学概率论与数理统计第四章习题答案详解文档格式.docx
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这时，X"
之间的相关系数pXY=0.
7、若Px、，是随机变童（XV）的相关系数，则10“1=1的充要条件是
P\Y=aX+b}=l.
8、Qxy是随机变量（X"
）的相关系数，当Pxy=0时，X与丫不相关,当lp“1=1吋,x与丫几乎线性相关.
9、若D（X）=&
D（Y）=4,且X,丫相互独立，则D（2X-y）=36.
10、若a上为常数，则D（aX+b）=a2D（X）.
lk若X"
相互独立,E（X）=0,E（K）=2,»
•]E（XY）=0.
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丢____・_二
12.若随机变量X服从［0,2刃上的均匀分布，则E（X）=jl・
13.若D（X）=25,D（Y）=36,pXY=0.4,Mcov（X.y）=12,£
）（X+r）=85,
D（X-Y）=31.
14、已知E（X）=3,D（X）=5,则E（X+2）2=翌.
pxx>
0
15、若随机变量X的概率密度为（p（x}=一,则E（2X）=2,
0x<
E（严）=塑・
二、计算题
1、五个零件中有1个次品，进行不放回地检査，每次取1个，直到查到次品为止。
设X表示检查次数，求平均检查多少次能查到次品？
解：
X的分布律为：
3
5
Pk
1/5
E（X）=1（1+2+3+4+5）=3・
答：
略
2、某机携有导弹3枚，各枚命中率为"
，现该机向同一目标射击、击中为止，问平均射］击几次？
设X为射击次数，则X的分布律为：
（1-p）2
E（X）=〃+2〃（1-“）+3（1-p）2=p2一3〃+3
丢—=・3・_・_沦
3、设X的密度函数为j\x}=\
0<
x<
I
其它
求E（X）、D（X）
解:
E（X）=J：
h（x）dx=j'
2x2dA=-E（X2）=匸"
/（x）dx=J：
2x'
dx=|
121
故D（X）=E（X2）-（E（X））2=--（-）2=—
231o
4、（拉普拉斯分布）X的密度函数为f（x）=-e~M（-oo<
+oo）,求.E（X）、D（X）
E（X）=「x-e^dx=O
J_x2
E（X2）=J：
x2|e_|x|dA-=x2e_xd.r=x2dc~x
=-x2e'
v+2fAe^d-v=—2fxde'
x
oJoJo
+8
=一2「=2
故D（X）=E（X2）-（E（X））2=2
0,x<
-1
5.设连续型随机变量X的分布函数F（X）=<
«
+/?
arcsinx,-1<
x<
1
hx>
求a.b、E（X）、D（X）.
•••X为连续型随机变量，
/.F（x）为连续函数.
・・・F（_1'
）=F（_1）,=>
么_畀=0
■
/.F（1+）=F
（1）,=>
“+*=]
可解得；
a=*,b=*.
X的槪率密度
fW=F'
（x）=
E（X）=fxf{x）dx=f——「cLv=0
JiLVi-X2
JC
D（X）=-
7t
八I
$sin伽右
6、一台设备由三大部件构成，运转中它们需调整的概率分别为0.1、0.2.0.3,假设它们
的状态相互独立，以X表示同时需调整的部件数，求E（X）、D（X）
设A表示第i个部件需调整,z=l,23
1,4发生
不发生，则X7++：
i=123
E（XJ=P（A）D（XJ=P（4）[l-Pg）]
故E（X）=E（X】）+E（X2）+E（X3）=0.1+0.2+0.3=0.6
D（X）=D（X1）+Z）（X2）+D（X3）
=0.1x0.9+0.2x0.8+0.3x0.7=0.46
7、对圆的直径作近似测童，设其值X均匀分布在区间［“少］内，求圆面积的数学期望.
因为X~U（gb）,所以X的密度
z./、一!
—,a<
x<
b
/（x）=b—/
0,其它
设Y=a圆面积”，则y=-x2,所以
E（X）=E（—X~）=—（—_dr=—（a2+ab+Z?
2）.
44心一。
12
8、设随机变量X~e
（2）、Y~e（4）,求E（X+Y）、E（2X-3Y2）.
显然E（X）=-,£
（/）=-,D（Y}=丄
2416
所以
13
^（x+r）=E（x）+E（r）=
244
E（2X-3厂）=2E（X）-3[n（y）+（E（y））2]
I廿11、5
=1_3
（1）=_
16168
9、设（Xf）的分布律为
求E（X）9E（Y）.
0.2
0.1
0」
0.3
E（X）=（—l）（0・2+0・l+0）+0+lx（0・l+0・l+0・l）=0
E（Y）=lx（0・2+0・l+0・l）+2x（0・l+0+0.1）+3x（0+0・3+0・l）
=2
10.已知随机变量X的槪率密度为/（x）=
x<
2
求X=e（xj时槪率密度
E（X）=x（l-11-/险=jLv2dv+（（2x-x2）±
¥
=1
E（X~）=£
x^dx+（（2x2-x3）±
r=
D（X）=E（X2）-（E（X））2=1
所以X*=a/6（X—1）
Fx,（y）=p{x^<
y}=p{y[6（X
y-
7T1
_l）HXV+ip=Fx（±
+l）
川沪詁耳（詁I）
A（
y\\|y|<
V6
11、设随机变量（XV）的密度函数为
f（x,y）=<
求E（XY）.
y<
\
20<
1,0<
x
0其它
E（XY）=jjxyf（x.y）dAdy=j|IxydxdyG:
xOyG
=2卜叫灿=4认冷
12、设随机变董X和丫相互独立，且E（X）=E（Y）=O,D（X）=D（Y）=1,
求E[（x+r）2].
4（X+r）2]=£
（X2）+E（r2）+2E（XY）
=D（X）+（E（X））2+D（y）+（E（r））2+2E（X）E（Y）=2
13、设二维随机变董（X,Y）的均值E（X）、E（Y）存在，
证明：
E（xr）=E（X）E（Y）+£
[（X-E（X））（y-£
（/））]o
证：
因为
e[（x-E（X）XY一£
（/））]=E（XY）-E（X）E（y）
所以E（XY）=E（X）E（Y）+e[（X-E（X）\Y-E（K））]
14、证明：
如果随机变量X与Y相互独立，且D（X）,D（Y）存在，
则D（xr）=D（x）D（y）+[e（x）『d（x）+[e（k）]2d（y）
D（XY）=£
[（Xr）2]-[E（Xr）]2
=E（X2Y2）-[E（X）E（Y）f
=E（X2）E（Y2）-IE（X）]2IE（Y）]2
={D（X）+[E（X）『}{D（y）+[E（Y）『}-[E（X）]2[E（Y）]2
=D（X）D（Y）+lE（X）fD（Y）+[E（Y）]2D（X）
15、设区域G为x2+y2<
1,二维随机变董（X,Y）服从G上的均匀分布，判斷X、Y的相关性、独立性.
显然，二维随机变量（X,Y）的概率密度函数为
0,（x,y）gG
1II
所以fx⑴=匚/ay）dy=<
「――d”X<
—\I\-X2,|a-|<
兀11
/）（>
）=•
/i-r，|y|<
i
因此
E（X）=ja/（x）cLv=j（—xa/1-x2dv=
同样可得
E（Y）=0
又
E（XY）=JJxyf（x,y）ctvdy=丄jj.v）dvdy
xOyG
cov（X,y）=E（XY）一E（X）E（Y）=0
故X、Y不相关，但由于
fxMfy（y）^f（x9y）
所以X与Y不相互独立.
16、设随机变量x和r的联合分布律为
33
£
（X）=（-l）x-+O+lx-=O
88
33
E（y）=（-l）x-+O+lx-=O
（Xr）=（-l）x（-l）x-+O+（-l）xlx-+O+lx（-l）x-+O+lxlx-=O
8888
所以cov（X,r）=E（XY）-E（X）E（Y）=O
故X#不相关.
331
又门•飞，Pn=-
所以Pi.n、
故不相互独立.
17、设随机变量（X,Y）具有概率密度
C、曲+刃0^^<
2,0<
y<
2〔0其它
求E（X\E（Y\cov（X,Y）,Pxy・
E（X）=y）dxd.y=茫cU[x（x+y）dy=十xOy“&
由匕y的“对称性”可得
7E（Y）=-.
=斯叫:
g+恥斗
o
又E（XY）=JJ入"
（x,y）dxdy
xOy
所以cov（X,Y）=E（XY）一E（X）E（y）=一丄.
36
又E（X2）=y）dvdy=|£
dv£
x2（x+y）dy=|
由圮y的“对称性”可得时）€
所以D（x）=E（x2）-（E（x））2=H,D（y）=H.
363o
”r_cov（X,Y）_1
叭PyYr——■
』D（X）D（Y）II
18、已知随机变量X,Y不相关，都具有寥期望值及方差
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