高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题27 函数的图像解析版文.docx
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高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题27函数的图像解析版文
2021年高考理科数学一轮复习:
题型全归纳与高效训练突破
专题2.7函数的图像
一、题型全归纳
题型一作函数的图象
【题型要点】函数图象的三种画法
(1)直接法:
当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)转化法:
含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.
(3)图象变换法:
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.
【提醒】
(1)画函数的图象时一定要注意定义域.
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【例题】作出下列函数的图象:
(1)y=;
(2)y=;
(3)y=|log2x-1|;(4)y=x2-2|x|-1.
【解】
(1)易知函数的定义域为{x|x≠-1,x∈R}.
y==-1+,因此由函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到函数y=的图象,如图1所示.
(2)先作出y=,x∈[0,+∞)的图象,然后作其关于y轴的对称图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=的图象,如图2所示.
(3)先作出y=log2x的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得到y=|log2x-1|的图象,如图3所示.
(4)y=的图象如图4所示.
题型二函数图象的识别
【题型要点】识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点,排除不合要求的图象.
【提醒】由实际情景探究函数图象,关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题.
命题角度一 知式选图
【例1】(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为( )
【答案】D
【解析】因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A;
因为f(π)==>0,所以排除C;因为f
(1)=,且sin1>cos1,所以f
(1)>1,所以排除B.故选D.
【例2】(2020·淄博模拟)函数f(x)=ln(x2+2)-ex-1的图象可能是( )
【答案】A
【解析】当x→+∞时,f(x)→-∞,故排除D;易知f(x)在R上连续,故排除B;且f(0)=ln2-e-1>0,故排除C,故选A.
命题角度二 知图选式
【例3】已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=B.f(x)=
C.f(x)=-1D.f(x)=x-
【答案】A
【解析】
(1)由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-,则x→+∞时,f(x)→+∞,排除D,故选A.
【例4】(2020·洛阳第一次统考)已知f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的大致图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的大致图象是( )
【答案】A
【解析】由函数f(x)的大致图象可知3<a<4,-1<b<0,所以g(x)的图象是由y=ax(3<a<4)的图象向下平移-b(0<-b<1)个单位长度得到的,其大致图象应为选项A中的图象,故选A.
命题角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象
【例5】广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互纠在一起,因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图,是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”,圆心分别为O,O1,O2,若一动点P从点A出发,按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A,O,O1,O2,B五点共线),设P的运动路程为x,y=|O1P|2,y与x的函数关系式为y=f(x),则y=f(x)的大致图象为 ( )
【答案】 A
【解析】 根据题图中信息,可将x分为4个区间,即[0,π),[π,2π),[2π,4π),[4π,6π],当x∈[0,π)时,函数值不变,y=f(x)=1;当x∈[π,2π)时,设与的夹角为θ,因为||=1,||=2,θ=x-π,所以y=(-)2=5-4cosθ=5+4cosx,所以y=f(x)的图象是曲线,且单调递增;当x∈[2π,4π)时,=-,设与的夹角为α,||=2,||=1,α=2π-x,所以y=|O1P|2=(-)2=5-4cosα=5-4cos,函数y=f(x)的图象是曲线,且单调递减.
【例6】如图,四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
【答案】A.
【解析】:
将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来.①中应该是匀速的,故下面的图象不正确;②中的变化率应该是越来越慢的,正确;③中的变化率是先快后慢再快,正确;④中的变化率是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的.
题型三函数图象的应用
命题角度一 研究函数的性质
【题型要点】利用图象研究函数性质问题的思路
对于已知解析式易画出其在给定区间上函数的图象,其性质常借助图象研究:
【例1】设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列说法:
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=.
其中所有正确说法的序号是________.
【答案】①②④
【解析】由已知条件,得f(x+2)=f(x),
故y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;
当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,
f(x)=f(-x)=,
函数y=f(x)的图象如图所示,
当3f(x)=f(x-4)=,因此②④正确,③不正确.
【例2】(2020·闽粤赣三省十校联考)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)
【答案】C
【解析】将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,
观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.
命题角度二 解不等式
【题型要点】当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解
【例3】(2020·昆明检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且f(x)在(-∞,0)上是减函数,f
(2)=0,g(x)=f(x+2),则不等式xg(x)≤0的解集是( )
A.(-∞,-2]∪[2,+∞)B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C.(-∞,-4]∪[-2,+∞)D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
【答案】C
【解析】 依题意,画出函数g(x)的大致图象如图,
则xg(x)≤0⇔或由图可得xg(x)≤0的解集为(-∞,-4]∪[-2,+∞).
【例4】若不等式(x-1)20,且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(1,2]B.
C.(1,)D.(,2)
【答案】 A
【解析】要使当x∈(1,2)时,不等式(x-1)21时,如图,
要使x∈(1,2)时,y=(x-1)2的图象在y=logax的图象的下方,只需(2-1)2≤loga2,即loga2≥1,解得1命题角度三 求参数的值或取值范围
【题型要点】利用函数图象解答求取值范围问题
(1)借助函数图象.由参数满足的等量关系分析出参数满足的其他等量关系或不等关系.
(2)解不等式恒成立问题,通常在同一坐标系中分别作出两函数的图象,利用数形结合求解..
【例5】设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________.
【答案】 [-1,+∞)
【解析】 如图
作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图象,观察图象可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞).
【例6】.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f
(1)=0,则不等式<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)
【答案】D.
【解析】:
因为f(x)为奇函数,所以不等式<0可化为<0,即xf(x)<0,f(x)的大致图象如图所示.
所以xf(x)<0的解集为(-1,0)∪(0,1).
题型四数形结合思想在函数问题中的应用
【例1】已知函数f(x)=则对任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( )
A.f(x1)+f(x2)<0 B.f(x1)+f(x2)>0
C.f(x1)-f(x2)>0D.f(x1)-f(x2)<0
【答案】 D
【解析】 函数f(x)的图象如图所示:
且f(-x)=f(x),从而函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数.又0<|x1|<|x2|,所以f(x2)>f(x1),即f(x1)-f(x2)<0.
【例2】函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cosπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A.3B.6C.4D.2
【答案】B.
【解析】:
由图象变换的法则可知,y=lnx的图象关于y轴对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象,向右平移1个单位得到y=ln|x-1|的图象;y=-2cosπx的周期T=2.如图所示,
两图象都关于直线x=1对称,且有3对交点,每对交点关于直线x=1对称,故所有交点的横坐标之和为2×3=6.
题型五高考中的函数图象及应用问题的解题方法
【题型要点】1.用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点,即根据已知函数的图象或已知函数的解析式,取特殊点,判断各选项的图象是否经过该特殊点,从而得正确的选项.在求函数值的过程中运算一定要认真,从而准确进行判断.
2.已知函数解析式,判断其图象的关键:
由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质,根据这些性质对函数图象进行具体的分析和判断,即可得出正确选项.若能熟记基本初等函数的性质,则此类题就不攻自破.
3.判断复杂函数的图象,常借助导数这一工具,先对原函数进行求导,再利用导数判断函数的单调性、极值或最值,从而对选项进行筛选.要