新课标高中数学导数和应用教材复习题答案.docx
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新课标高中数学导数和应用教材复习题答案
第一章导数及其应用
1．1变化率与导数
练习（P6）
在第3h和5h时，原油温度的瞬时变化率分别为和3.它说明在第3h附近，原油温度大约以1℃／h的速度下降；在第5h时，原油温度大约以3℃／h的速率上升.
练习（P8）
函数在附近单调递增，在附近单调递增.并且，函数在附近比在附近增加得慢.说明：
体会“以直代曲”的思想.
练习（P9）
函数的图象为
根据图象，估算出，.
说明：
如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.
习题1.1A组（P10）
1、在处，虽然，然而.
所以，企业甲比企业乙治理的效率高.
说明：
平均变化率的应用，体会平均变化率的涵.
2、，所以，.
这说明运动员在s附近以3.3m／s的速度下降.
3、物体在第5s的瞬时速度就是函数在时的导数.
，所以，.
因此，物体在第5s时的瞬时速度为10m／s，它在第5s的动能J.
4、设车轮转动的角度为，时间为，则.
由题意可知，当时，.所以，于是.
车轮转动开始后第3.2s时的瞬时角速度就是函数在时的导数.
，所以.
因此，车轮在开始转动后第3.2s时的瞬时角速度为.
说明：
第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知，函数在处切线的斜率大于零，所以函数在附近单调递增.同理可得，函数在，，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：
“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数的图象如图
（1）所示；第二个函数的导数恒大于零，并且随着的增加，的值也在增加；对于第三个函数，当小于零时，小于零，当大于零时，大于零，并且随着的增加，的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.
说明：
本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.
习题1.1B组（P11）
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.
2、
说明：
由给出的的信息获得的相关信息，并据此画出的图象的大致形状.这个过程基于对导数涵的了解，以及数与形之间的相互转换.
3、由
（1）的题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象.同理可得
（2）（3）某点处函数图象的大致形状.下面是一种参考答案.
说明：
这是一个综合性问题，包含了对导数涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.本题的答案不唯一.
1．2导数的计算
练习（P18）
1、，所以，，.
2、
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
习题1.2A组（P18）
1、，所以，.
2、.
3、.
4、
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
5、.由有，解得.
6、
（1）；
（2）.
7、.
8、
（1）氨气的散发速度.
（2），它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.
习题1.2B组（P19）
1、
（1）
（2）当越来越小时，就越来越逼近函数.
（3）的导数为.
2、当时，.所以函数图象与轴交于点.
，所以.
所以，曲线在点处的切线的方程为.
2、.所以，上午6:
00时潮水的速度为m／h；上午9:
00时潮水的速度为m／h；中午12:
00时潮水的速度为m／h；下午6:
00时潮水的速度为m／h.
1．3导数在研究函数中的应用
练习（P26）
1、
（1）因为，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
（2）因为，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
（3）因为，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即或时，函数单调递减.
（4）因为，所以.
当，即或时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
注：
图象形状不唯一.
2、
3、因为，所以.
（1）当时，
，即时，函数单调递增；
，即时，函数单调递减.
（2）当时，
，即时，函数单调递增；
，即时，函数单调递减.
4、证明：
因为，所以.
当时，，
因此函数在是减函数.
练习（P29）
1、是函数的极值点，
其中是函数的极大值点，是函数的极小值点.
2、
（1）因为，所以.
令，得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，当时，有极小值，并且极小值为.
（2）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，，变化情况如下表：
3
＋
0
－
0
＋
单调递增
54
单调递减
单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为54；
当时，有极小值，并且极小值为.
（3）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即时；②当，即或时.
当变化时，，变化情况如下表：
2
－
0
＋
0
－
单调递减
单调递增
22
单调递减
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为22
（4）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即时；②当，即或时.
当变化时，，变化情况如下表：
1
－
0
＋
0
－
单调递减
单调递增
2
单调递减
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为2
练习（P31）
（1）在上，当时，有极小值，并且极小值为.
又由于，.
因此，函数在上的最大值是20、最小值是.
（2）在上，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为；
又由于，.
因此，函数在上的最大值是54、最小值是.
（3）在上，当时，有极大值，并且极大值为.
又由于，.
因此，函数在上的最大值是22、最小值是.
（4）在上，函数无极值.
因为，.
因此，函数在上的最大值是、最小值是.
习题1.3A组（P31）
1、
（1）因为，所以.
因此，函数是单调递减函数.
（2）因为，，所以，.
因此，函数在上是单调递增函数.
（3）因为，所以.
因此，函数是单调递减函数.
（4）因为，所以.
因此，函数是单调递增函数.
2、
（1）因为，所以.
当，即时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
（2）因为，所以.
当，即时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
（3）因为，所以.
因此，函数是单调递增函数.
（4）因为，所以.
当，即或时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
3、
（1）图略.
（2）加速度等于0.
4、
（1）在处，导函数有极大值；
（2）在和处，导函数有极小值；
（3）在处，函数有极大值；
（4）在处，函数有极小值.
5、
（1）因为，所以.
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，时，有极小值，并且极小值为.
（2）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，，变化情况如下表：
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
16
单调递减
单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为16；
当时，有极小值，并且极小值为.
（3）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，，变化情况如下表：
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
22
单调递减
单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为22；
当时，有极小值，并且极小值为.
（4）因为，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，，变化情况如下表：
4
－
0
＋
0
－
单调递减
单调递增
128
单调递减
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为128.
6、
（1）在上，当时，函数有极小值，并且极小值为.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为9，.
（2）在上，当时，函数有极大值，并且极大值为16；
当时，函数有极小值，并且极小值为.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为16，.
（3）在上，函数在上无极值.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为，.
（4）当时，有极大值，并且极大值为128..
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为128，.
习题3.3B组（P32）
1、
（1）证明：
设，.
因为，
所以在单调递减
因此，，即，.图略
（2）证明：
设，.
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
又.因此，，.图略
（3）证明：
设，.
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
综上，，.图略
（4）证明：
设，.
因为，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
当时，显然.因此，.
由（3）可知，，.
.综上，，图略
2、
（1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.
（2）因为，所以.
下面分类讨论：
当时，分和两种情形：
①当，且时，
设方程的两根分别为，且，
当，即或时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
当，且时，
此时，函数单调递增.
②当，且时，
设方程的两根分别为，且，
当，即时，函数单调递增；
当，即或时，函数单调递减.
当，且时，
此时，函数单调递减
1．4生活中的优化问题举例
习题1.4A组（P37）
1、设两段铁丝的长度分别为，，则这两个正方形的边长分别为，，两个正方形的面积和为，.
令，即，.
当时，；当时，.
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.
所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.
2、如图所示，由于在边长为的正方形铁片的四角截去
四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无
盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为.
（1）无盖方盒的容积，.
（2）因为，
所以.
令，得（舍去），或.
当时，；当时，.
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，当时，无盖方盒的容积最大.
3、如图，设圆柱的高为，底半径为，
则表面积
由，得.
因此，，.
令，解得.
当时，；
当时，.
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.此时，.
所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.
4、证明：
由于，所以.
令，得，
可以得到，是函数的极小值点，也是最小值点.
这个结果说明，用个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的，
这就是最小二乘法的基本原理.
5、设矩形的底宽为m，则半圆的半径为m
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