专题05 破译空间中有关外接球的问题解析版文档格式.docx

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2．（2020·

湖北省高三）已知三棱锥

的所有顶点在球

的球面上，

平面

，

是等腰直角三角形，

是

的中点，过点

作球

的截面，则截面面积的最小值是（）

【答案】B

【解析】点

的外心，过点

作

使

是外接球球心，半径设为

，则

.

在直角梯形

中，

，得

过点

的截面，当

截面时，截面面积最小，

此时截面圆的半径为

截面面积的最小值是

.故选：

B.

3．（2020·

福建省高三月考）在三棱锥

底面

是线段

上一点，且

.三棱锥

的各个顶点都在球

表面上，过点

的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为

，则球

的表面积为（）

【解析】将三棱锥

补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球

记三角形

的中心为

，设球的半径为

则球心

到平面

的距离为

，即

连接

，∴

在

中，取

的中点为

，连接

则

所以

.在

由题意得到当截面与直线

垂直时，截面面积最小，

设此时截面圆的半径为

所以最小截面圆的面积为

当截面过球心时，截面面积最大为

球的表面积为

.故选:

C.

4．（2020·

福建省福州第一中学高三开学考试）在棱长为6的正方体

中，点

满足

，则三棱锥

的外接球的表面积是（）

【解析】

，如图建立空间直角坐标系，

设P为三棱锥

的外接球的球心，

故P到

三点的距离相等，

由正方体的性质，P点在直线

上

不妨设

由于

外接球半径：

故表面积

故选：

5．（2020·

云南省云南师大附中高三月考）四边形

是菱形，

，沿对角线

翻折后，二面角

的余弦值为

的外接球的体积为（）

【解析】如下图所示，取

，设球心

在平面

内的射影为

，在平面

，则二面角

的平面角为

，设

球

的半径

，所求外接球的体积为

故选：

6．（2020·

河北省高三月考）圆锥

（其中

为顶点，

为底面圆心）的侧面积与底面积的比是

，则圆锥

与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）

【答案】A

【解析】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为

侧面积与底面积的比为

则母线l=2r,圆锥的高为h=

则圆锥的体积为

设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=

BD=r,

在直角三角形BOD中，由勾股定理得

即

展开整理得R=

所以外接球的体积为

故所求体积比为

，故选：

A

7．（2020·

湖南省高三期末）设三棱柱

的侧棱垂直于底面，

，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）

C．

【解析】由题意知底面外接圆的圆心为斜边

的中点

，则外接圆的半径

，而

，所以

，过

的中点做垂直于底面的直线交中截面与

点，则

为外接球的球心，

由题意得：

，所以外接球的表面积

．

8．（2020·

全国高三课时练习）体积为

的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为

，所以正方体的外接球的半径为

，所以该球的表面积为

，故选A.

二、填空题

9．（2020·

全国高三课时练习）已知圆台的上、下底面都是球

的截面，若圆台的高为

，上、下底面的半径分别为

的表面积为__________．

【答案】

【解析】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式

，解得

，所以半径

因而表面积

10．（2020·

山东省高三）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______.

【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：

设圆柱的底面圆半径为

，所以轴截面的面积为

，因此，该圆柱的外接球的半径

所以球的表面积为

.故答案为

11．（2020·

广西壮族自治区广西师大附属外国语学校高三）在平面四边形ABCD中，ΔBCD是边长为2的等边三角形，ΔBAD为等腰三角形，且∠BAD=

，以BD为折痕，将四边形折成一个

的二面角

，并且这个二面角的顶点A，B，C，D在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________

折成的立体图形如图所示，O为球心，E为BD的中点，∠CEH=

CE=

，所以由

得：

，所以，球面积为

故答案为：

12．（2020·

湖南省长郡中学高三月考）已知三棱锥

，当

取最大值时，三棱锥

的外接球表面积是______.

【解析】当

取最大值时

两两垂直，

此时以

为长方体的三条棱，

长方体的外接球也即是三棱锥

的外接球，

长方体的对角线长为

，设球的半径为R，则

.故答案为：

13．（2020·

广东省高三期末）已知三棱锥

，当三棱锥

体积最大值时，三棱锥

的外接球的体积为______.

【解析】三棱锥

，以

为底，

的距离为高，

则可知

时，

的距离最大为

为等腰三角形，

所以，当

的面积最大，即

两两垂直时，三棱锥

体积最大，

此时三棱锥

的外接球可以看作是以

为棱长的正方体的外接球，

设球的半径为

解得

，所以所求球的体积为

14．（2020·

全国高三专题练习）如图所示，六氟化硫

的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子

恰好在正八面体的顶点上，而硫原子

恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________.

【解析】由正八面体的性质可得：

当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时，此时这个球为正八面体的外接球，且球心为点

，设外接球的半径为

，则正八面体的体积为

又正八面体的外接球的体积为

则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为

15．（2020·

河南省高三）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知

，四边形

为正方形，

，若鳖臑

的外接球的体积为

，则阳马

的外接球的表面积等于______．

【解析】鳖臑

可看做如下图所示的长方体的一部分：

则长方体外接球即为鳖臑

的外接球

外接球半径为：

又

，交于

，取

中点

可知：

可知

为阳马

的外接球球心，则外接球半径

阳马

的外接球表面积

本题正确结果：