03高三理数一轮讲义13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词练习版Word格式.docx

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特称命题

结构

对M中的任意一个x，有p（x）成立

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

简记

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，p（x0）

否定

∃x0∈M，綈p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

[微点提醒]

1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：

p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与

p→真假相反.

2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

3.“p∨q”的否定是“（

p）∧（

q）”，“p∧q”的否定是“（

p）∨（

q）”.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×

”）

（1）命题“5>

6或5>

2”是假命题.（　　）

（2）命题

（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.（　　）

（3）“长方形的对角线相等”是特称命题.（　　）

（4）∃x0∈M，p（x0）与∀x∈M，

p（x）的真假性相反.（　　）

2.（选修2－1P26A3改编）命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是（　　）

A.∃x0∈R，x

＋x0≤0B.∃x0∈R，x

＋x0<

C.∀x∈R，x2＋x≤0D.∀x∈R，x2＋x<

3.（选修2－1P18A1（3）改编）已知p：

2是偶数，q：

2是质数，则命题

p，

q，p∨q，p∧q中真命题的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

4.（2019·

贵阳调研）下列命题中的假命题是（　　）

A.∃x0∈R，lgx0＝1B.∃x0∈R，sinx0＝0

C.∀x∈R，x3＞0D.∀x∈R，2x＞0

5.（2018·

安徽江南十校模拟）已知命题p，q，“

p为真”是“p∧q为假”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2019·

豫南五校联考）若“∀x∈

，m≤tanx＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.

考点一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

【例1】

（1）设a，b，c是非零向量.已知命题p:

若a·

b＝0，b·

c＝0，则a·

c＝0；

命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（　　）

A.p∨qB.p∧q

C.（

q）D.p∧（

q）

（2）（2018·

太原模拟）已知命题p：

∃x0∈R，x

－x0＋1≥0；

若a<

b，则

>

，则下列命题中为真命题的是（　　）

A.p∧qB.p∧（

p）∧qD.（

规律方法　1.“p∨q”、“p∧q”、“

p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：

（1）明确其构成形式；

（2）判断其中命题p，q的真假；

（3）确定“p∨q”“p∧q”“

p”形式命题的真假.

2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，

p则是“与p的真假相反”.

【训练1】

（1）（2019·

济南模拟）若命题“p∨q”与命题“

p”都是真命题，则（　　）

A.命题p与命题q都是真命题

B.命题p与命题q都是假命题

C.命题p是真命题，命题q是假命题

D.命题p是假命题，命题q是真命题

（2）（2017·

山东卷）已知命题p：

∃x∈R，x2－x＋1≥0；

若a2<

b2，则a<

b.下列命题为真命题的是（　　）

A.p∧qB.p∧

C.

p∧qD.

p∧

考点二　全称量词与存在量词　

多维探究

角度1　含有量词命题的否定

【例2－1】命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A.∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n

B.∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n

C.∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0

D.∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0

角度2　全称（特称）命题的真假判断

【例2－2】

（1）（2019·

江西师大附中月考）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（　　）

A.∀x∈R，f（－x）≠f（x）

B.∀x∈R，f（－x）≠－f（x）

C.∃x0∈R，f（－x0）≠f（x0）

D.∃x0∈R，f（－x0）≠－f（x0）

昆明一中质检）已知命题p：

∀x∈R，x＋

≥2；

∃x0∈（0，＋∞），x

＞x

A.（

p）∧qB.p∧（

q）D.p∧q

规律方法　1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；

二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.

2.判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；

要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立.

【训练2】

（1）（2019·

河北“五个一”名校联考）命题“∃x0∈R，1<

f（x0）≤2”的否定形式是（　　）

A.∀x∈R，1<

f（x）≤2

B.∃x0∈R，1<

f（x0）≤2

C.∃x0∈R，f（x0）≤1或f（x0）>

2

D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）>

（2）已知命题p：

∃x0∈（－∞，0），2x0<

3x0；

∀x∈

，sinx<

x，则下列命题为真命题的是（　　）

考点三　由命题的真假求参数的取值范围

【例3】

（1）（2018·

长沙调研）已知命题p：

∀x∈R，log2（x2＋x＋a）>

0恒成立，命题q：

∃x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围为________.

（2）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝

－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________.

规律方法　1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：

（1）求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

（2）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

2.全称命题可转化为恒成立问题.

含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

【训练3】本例

（2）中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________.

[思维升华]

1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字眼，要结合语句的含义理解.

2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；

否定的规律是“改量词，否结论”.

[易错防范]

1.正确区别命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；

“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真.

2.几点注意：

（1）注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提；

（2）注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；

（3）注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.

逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题

　逻辑推理的关键要素是：

逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系），目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.

类型1　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g（x2）＝f（x1）成立”

【例1】已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x，g（x）＝

x－

，若对任意x1∈

[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′（x1）＋2ax1＝g（x2）成立，求实数a的取值范围.

评析　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.

类型2　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）＝g（x2）成立”

【例2】已知函数f（x）＝

函数g（x）＝ksin

－2k＋2（k>

0），若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围.

类型3　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）<

g（x2）成立”

【例3】已知函数f（x）＝x＋

，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈

，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是________.

思考1：

在[例3]中，若把“∃x2∈[2，3]”变为“∀x2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是________.

问题“等价转化”为[f（x）]max≤[g（x）]min，请读者完成.

思考2：

在[例3]中，若将[例3]中“∀x1∈

”改为“∃x1∈

”，其它条件不变，则a的取值范围是______.

问题“等价转化”为f（x）min≤g（x）max，请读者自行求解.

基础巩固题组

（建议用时：

30分钟）

一、选择题

1.（2019·

益阳调研）已知命题p：

“∀a≥0，a4＋a2≥0”，则命题

p为（　　）

A.∀a≥0，a4＋a2<

0B.∀a≥0，a4＋a2≤0

C.∃a0<

0，a

＋a

<

0D.∃a0≥0，a

2.第十八届亚运会于2018年8月28日在雅加达隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（　　）

q）B.p∨（

q）C.（

q）D.p∨q

3.（2018·

昆明诊断）已知命题“∃x∈R，4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A.（－∞，0）B.[0，4]C.[4，＋∞）D.（0，4）

4.命题p：

函数y＝log2（x－2）的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝

的值域为（0，1）.下列命题是真命题的为（　　）

A.p∧qB