高中数学竞赛专题之数列Word格式.docx
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例2、等差数列
的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项的和为()
A.130B.170C.210D.260
例3、
(1)求
的值,
(2)求使
为整数的所有正整数n。
例4、在等差数列
中,若
,则有等式
成立,类比上述性质,相应地:
在等比数列
,则有等式成立。
例5、一个正数,其小数部分、整数部分和其本身成等比数列,则该数为。
例6、设
},
是
的元素个数,
是所有元素的和,则
。
例7、设A={1,2,…n},
是A的所有非空真子集元素的和,
表示A的子集个数,求
的值。
例8、设数列
的前n项和为
,数列
满足
,求数列
的前n项和。
方法:
首先找出
的通项式,在找出
的通项式
例9、设
为等差数列,
,又
,试求
的通项公式。
例10、设
是等差数列
的前n项和,且
的通项式为
(1)求数列
的通项公式,
(2)若
,则称d为数列
与
的公共项,按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列
,证明:
的通项公式为
例11、
个正数排成n行n列:
其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有的公比相等,已知
,求
+
作业:
1、将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按n组有(2n-1)个奇数进行分组:
{1}、{3,5,7}、{9,11,13,15,17}….,则1991位于组中。
2、在等差数列
中,公差
的等比中项,已知数列
成等比数列,求数列
3、设正数数列
,
(1)求数列
的通项公式,
(2)设
,试求M的最小值。
二、数学归纳法
数学归纳法在一定程度上考察了以下能力:
(1)从整体上直接领悟数学对象本质的能力;
(2)从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力;
(3)从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。
第一数学归纳法:
设
是一个关于自然数n的命题,满足以下条件:
(1)
是成立的,
(2)假设
成立能推出
成立,则命题对一切自然数n都成立。
第二数学归纳法:
,…
解题思维过程:
尝试——观察——归纳、猜想——证明,即从特殊关系中概括一般规律,建立猜想,给出严格证明。
解题策略:
从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。
例1、已知对任意自然数n,有
,求证
(1989年高中)
例2、用
表示
的各数的最大奇数因子之和,求证:
例3、设
是正数数列且满足
尝试——观察——归纳、猜想——证明
例4、已知数列
满足:
,当
时,
有
,试求数列
例5、一个数列
定义如下:
对于自然数n,有
这里
表示不超过
的最大整数。
(IMO18-6)
变化形式
例6、设数列
,这里
,求证:
对所有的自然数n,有
(1977年加拿大数学奥林匹克)
例7、已知
是n个正数且满足
求证:
例8、已知a,b是正实数,且满足
,试证:
对每一个自然数n,有
三、递推数列,热点问题是求递推数列的通项公式
1、转化:
最常见的转化为等差(等比)数列的通式和求和
类型:
(1)
,化归成
型;
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
型
例1、、已知数列
开方转化成等差数列的形式
例2、设数列
例3、设数列
例4、设数列
2、变换(代换):
三角代换、代数代换
例1、已知
观察特点,联想到正切公式
例2、数列
含根式,通过代换转化为不含根式的递推式
满足关系式
,则
倒数关系不易求解,通过代换转化为熟悉的形式
例4、给定正整数n和正数M,对于满足条件:
的所有等差数列
的最大值。
根据特点,三角代换
3、特征方程及特征根求解递推式
对于二阶线性递推数列数列
..
(1)其中
为常数,若有等比数列
满足等式
(1),则x必满足相应的方程:
…….
(2),称此方程
(2)为
(1)的特征方程。
数列
的通项公式与特征方程的根有如下关系:
当
时,方程
(2)有两个不相同的实数根
,则数列
均是
(1)的解,并且对任意常数
也是
(1)的解(通解),
由初值确定。
时,方程
(2)有两个相同的实数根
时,方程
(2)有两个共轭复根
例1、求斐波那锲数列
的通项公式:
利用特征方程求解
注:
设数列
是k阶线性递推数列,其特征方程为
,设其前n项的和
是k+1阶线性递推数列,其特征方程为
例2、已知数列
,求此数列的前n项和。
且
(
是完全平方数(n=0,1,2,…)方法:
将其转化为只与
有关的递推式
4、利用函数不动点原理求解数列通项公式
定理1:
由初始值
确定,那么当且仅当
的不动点时,数列
是公比为a的等比数列。
定理2:
由递推关系
确定,
设函数
有两个不动点
,则:
(1)当
时,则数列
是等比数列,公比为
;
(2)当
是等差数列,公差为
例1、设数列
,前n项和为
,则满足不等式
的最小整数n=。
例3、设正数列
,且
变形、转化形成熟悉结构
例4、运动会连续开了n天,一共发了m枚奖牌,第一天发1枚加上剩下的
,第二天发2枚加上剩下的
,以后每天均按此规律发放奖牌,在最后一天,即第n天发n枚而无剩余,问运动会开了几天?
共发多少枚奖牌?
5、利用高阶差分数列求数列通式
定义1:
(差分数列)对于数列
,称
为
的一阶差分,
为数列
的的一阶差分数列;
的一阶差分:
的的二阶差分数列;
一般地,称
的k阶差分,称
的的k阶差分数列。
例1、求数列0,1,4,11,26,57,…的通项公式。
例2、求数列-2,1,7,16,28,…的通项公式。
定义2(高阶等差数列)若数列
的的k阶差分数列
是一个非零常数列,而k+1阶差分数列
是一个零常数列,则称
的的k阶等差数列。
是m阶等差数列,则
,约定
是m阶等差数列的充要条件是
是一个关于n的m次多项式。
定理3、数列
是m阶等差数列,它的前n项之和为
是m+1阶等差数列,且
例3、求
的求和公式,并给出证明。
定理4:
给定
,其中
为关于n的函数,则此一阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为:
例5、已知数列
四、数列的性质(反证法、周期性、有界性、整数性)
1、数列中的反证法问题
例1、设等差数列
包含1和
中任意三项均不构成等比数列。
例2、设
是定义在自然数集且取自然数值的严格递增函数,
,当m,n互质时,有
对任意自然数n,都有
例3、数列
为正数数列,满足条件
对一切自然数k,
为无理数。
2、数列的周期性
例1、已知整数数列
,如果前1492项之和为1985,而前1985项之和为1492,则该数列前2006项之和是多少?
考察数列的周期性
的个位数,
求
方法:
例3、已知数列
对一切自然数n,有
例4、函数
定义在整数集上,且满足
考察函数的周期性
3、数列的整除性、整数性
的各项均为整数。
例2、证明;
对任意的自然数n,数
能被
整除,这里[x]表示实数x的整数部分。
对任何n,
试证:
(1)数列
的各项均为正整数;
(2)对一切自然数n,
为完全平方数。