高中数学竞赛专题之数列Word格式.docx

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例2、等差数列

的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（）

A.130B.170C.210D.260

例3、

（1）求

的值，

（2）求使

为整数的所有正整数n。

例4、在等差数列

中，若

，则有等式

成立，类比上述性质，相应地：

在等比数列

，则有等式成立。

例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为。

例6、设

}，

是

的元素个数，

是所有元素的和，则

。

例7、设A={1,2,…n},

是A的所有非空真子集元素的和，

表示A的子集个数，求

的值。

例8、设数列

的前n项和为

，数列

满足

，求数列

的前n项和。

方法：

首先找出

的通项式，在找出

的通项式

例9、设

为等差数列，

，又

，试求

的通项公式。

例10、设

是等差数列

的前n项和，且

的通项式为

（1）求数列

的通项公式，

（2）若

，则称d为数列

与

的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列

，证明：

的通项公式为

例11、

个正数排成n行n列：

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知

，求

+

作业：

1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n组有（2n-1）个奇数进行分组：

{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于组中。

2、在等差数列

中，公差

的等比中项，已知数列

成等比数列，求数列

3、设正数数列

，

（1）求数列

的通项公式，

（2）设

，试求M的最小值。

二、数学归纳法

数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：

（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；

（2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；

（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。

第一数学归纳法：

设

是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：

（1）

是成立的，

（2）假设

成立能推出

成立，则命题对一切自然数n都成立。

第二数学归纳法：

，…

解题思维过程：

尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。

解题策略：

从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。

例1、已知对任意自然数n，有

，求证

（1989年高中）

例2、用

表示

的各数的最大奇数因子之和，求证：

例3、设

是正数数列且满足

尝试——观察——归纳、猜想——证明

例4、已知数列

满足：

，当

时，

有

，试求数列

例5、一个数列

定义如下：

对于自然数n，有

这里

表示不超过

的最大整数。

（IMO18-6）

变化形式

例6、设数列

，这里

，求证：

对所有的自然数n，有

（1977年加拿大数学奥林匹克）

例7、已知

是n个正数且满足

求证：

例8、已知a,b是正实数，且满足

，试证：

对每一个自然数n，有

三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式

1、转化：

最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和

类型：

（1）

，化归成

型；

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

型

例1、、已知数列

开方转化成等差数列的形式

例2、设数列

例3、设数列

例4、设数列

2、变换（代换）：

三角代换、代数代换

例1、已知

观察特点，联想到正切公式

例2、数列

含根式，通过代换转化为不含根式的递推式

满足关系式

，则

倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式

例4、给定正整数n和正数M，对于满足条件：

的所有等差数列

的最大值。

根据特点，三角代换

3、特征方程及特征根求解递推式

对于二阶线性递推数列数列

..

（1）其中

为常数，若有等比数列

满足等式

（1），则x必满足相应的方程：

…….

（2），称此方程

（2）为

（1）的特征方程。

数列

的通项公式与特征方程的根有如下关系：

当

时，方程

（2）有两个不相同的实数根

，则数列

均是

（1）的解，并且对任意常数

也是

（1）的解（通解），

由初值确定。

时，方程

（2）有两个相同的实数根

时，方程

（2）有两个共轭复根

例1、求斐波那锲数列

的通项公式：

利用特征方程求解

注：

设数列

是k阶线性递推数列，其特征方程为

，设其前n项的和

是k+1阶线性递推数列，其特征方程为

例2、已知数列

，求此数列的前n项和。

且

（

是完全平方数（n=0,1,2,…）方法：

将其转化为只与

有关的递推式

4、利用函数不动点原理求解数列通项公式

定理1：

由初始值

确定，那么当且仅当

的不动点时，数列

是公比为a的等比数列。

定理2：

由递推关系

确定，

设函数

有两个不动点

，则：

（1）当

时，则数列

是等比数列，公比为

；

（2）当

是等差数列，公差为

例1、设数列

，前n项和为

，则满足不等式

的最小整数n=。

例3、设正数列

，且

变形、转化形成熟悉结构

例4、运动会连续开了n天，一共发了m枚奖牌，第一天发1枚加上剩下的

，第二天发2枚加上剩下的

，以后每天均按此规律发放奖牌，在最后一天，即第n天发n枚而无剩余，问运动会开了几天？

共发多少枚奖牌？

5、利用高阶差分数列求数列通式

定义1：

（差分数列）对于数列

，称

为

的一阶差分，

为数列

的的一阶差分数列；

的一阶差分：

的的二阶差分数列；

一般地，称

的k阶差分，称

的的k阶差分数列。

例1、求数列0，1，4，11，26，57，…的通项公式。

例2、求数列-2，1，7，16，28，…的通项公式。

定义2（高阶等差数列）若数列

的的k阶差分数列

是一个非零常数列，而k+1阶差分数列

是一个零常数列，则称

的的k阶等差数列。

是m阶等差数列，则

，约定

是m阶等差数列的充要条件是

是一个关于n的m次多项式。

定理3、数列

是m阶等差数列，它的前n项之和为

是m+1阶等差数列，且

例3、求

的求和公式，并给出证明。

定理4：

给定

，其中

为关于n的函数，则此一阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为：

例5、已知数列

四、数列的性质（反证法、周期性、有界性、整数性）

1、数列中的反证法问题

例1、设等差数列

包含1和

中任意三项均不构成等比数列。

例2、设

是定义在自然数集且取自然数值的严格递增函数，

，当m,n互质时，有

对任意自然数n，都有

例3、数列

为正数数列，满足条件

对一切自然数k，

为无理数。

2、数列的周期性

例1、已知整数数列

，如果前1492项之和为1985，而前1985项之和为1492，则该数列前2006项之和是多少？

考察数列的周期性

的个位数，

求

方法：

例3、已知数列

对一切自然数n，有

例4、函数

定义在整数集上，且满足

考察函数的周期性

3、数列的整除性、整数性

的各项均为整数。

例2、证明；

对任意的自然数n，数

能被

整除，这里[x]表示实数x的整数部分。

对任何n，

试证：

（1）数列

的各项均为正整数；

（2）对一切自然数n，

为完全平方数。