版高中数学北师大版选修11学案第二章 11 椭圆及其标准方程Word格式.docx
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a，b，c的关系
类型一 求椭圆的标准方程
命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝
；
（2）经过点（3，
），且与椭圆
＝1有共同的焦点．
反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：
首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程（组），再解方程（组）求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0,2），并且椭圆经过点（－
，
）；
（2）焦点在x轴上，且经过两个点（2,0）和（0,1）．
命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程
例2 求经过（2，－
）和
两点的椭圆的标准方程．
反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：
一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；
二是设出椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1（A>
0，B>
0，A≠B），再解答．
跟踪训练2 求经过A（0,2）和B（
）两点的椭圆的标准方程．
类型二 椭圆方程中参数的取值范围
例3 “方程
＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是（ ）
A．1<
m<
B．1<
2
C．2<
3D．1<
3
反思与感悟
（1）利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．
（2）
＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练3 已知x2sinα＋y2cosα＝1（0≤α≤π）表示焦点在x轴上的椭圆．求α的取值范围．
类型三 椭圆定义的应用
例4 如图所示，点P是椭圆
＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°
，求△F1PF2的面积．
引申探究
在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．
跟踪训练4
已知椭圆的方程为
＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°
（如图）．求△PF1F2的面积．
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线
C．圆D．线段
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0,1），则实数k的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．“m>
n>
0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2
，则此椭圆的标准方程为________．
5．已知椭圆
＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|·
|PF2|＝________.
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>
|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；
当2a<
|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：
可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；
若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1（A>
0，A≠B）求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．
思考2 笔尖（动点）到两定点（绳端点的固定点）的距离之和始终等于绳长．
梳理 常数（大于|F1F2|）
知识点二
思考1 椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c（都是正数）恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
思考2 只有当2a>
|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；
|F1F2|时，满足条件的点不存在．
梳理 F1（－c,0），F2（c,0） F1（0，－c），F2（0，c） c2＝a2－b2
题型探究
例1 解
（1）∵c＝
，∴a2－b2＝c2＝6.①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，
代入①，得4b2－b2＝6，解得b2＝2，
∴a2＝8.
又∵焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为
＝1.
（2）方法一 椭圆
＝1的焦点为（－4,0）和（4,0），
由椭圆的定义可得
2a＝
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
方法二 由题意可设椭圆的标准方程为
＝1，
将x＝3，y＝
代入上面的椭圆方程，得
解得λ＝11或λ＝－21（舍去），
跟踪训练1 解
（1）∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为
0）．
由椭圆的定义知，
＝2
即a＝
.又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为
（2）∵椭圆的焦点在x轴上，
又椭圆经过点（2,0）和（0,1），
∴
＋y2＝1.
例2 解 设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1（A>
0，A≠B）．
将点（2，－
），
代入，
得
解得
故所求椭圆的标准方程为
跟踪训练2 解 当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为
0），
∵A（0,2），B（
）在椭圆上，
这与a>
b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋x2＝1，
综上可知，椭圆的标准方程为
＋x2＝1.
例3 A [要使方程
＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
则m应满足
解得1<
2，
∵A选项中{m|1<
}{m|1<
2}，
故选A.]
跟踪训练3 解 x2sinα＋y2cosα＝1，
可化为
由题意知
解得0<
α<
.
∴α的取值范围是
例4 解 在椭圆
＝1中，a＝
b＝2，
∴c＝
又∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2
，①
由余弦定理知，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·
|PF2|·
cos30°
＝|F1F2|2＝（2c）2＝4，②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·
|PF2|
＝20，③
③－②，得（2＋
）|PF1|·
|PF2|＝16，
∴|PF1|·
|PF2|＝16（2－
）．
∴S△F1PF2＝
|PF1|·
sin30°
＝8－4
－12.
引申探究 解 由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为|PB|＋|PF2|＋|BF2|
＝（|PF1|＋|PF2|）＋（|BF1|＋|BF2|）
＝2a＋2a＝4a＝4
跟踪训练4 解 由已知得a＝2，b＝
所以c＝
＝
从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|
＝2×
2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有（4－|PF1|）2＝|PF1|2＋4.
解得|PF1|＝
所以△PF1F2的面积S＝
·
|F1F2|＝
×
2＝
即△PF1F2的面积是
当堂训练
1．D 2.B 3.C 4.
＋x2＝1 5.48
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