安徽省皖南八校届高三第一次联考数学文试题Word版含答案Word文件下载.docx
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（单位:
秒）的函数的单调递增区间是
A、
B、
C、
D、
和
二、填空题
11．
。
12．已知矩形
的边长为2，
，点P在线段BD上运动，则
13．已知函数
，设
的取值范围是。
14．在
分别是
的对边，若
的大小为。
15．在整数集
中，被5除所得余数为
的所有整数组成一个“类”，记为
，即
，则下列结论正确的为（写出所有正确的编号）
①
；
②
③
④“整数
属于同一类”的充要条件是“
”；
⑤命题“整数
满足
”的原命题与逆命题都为真命题。
三、解答题
16．设
。
（1）记
，求集合A；
（2）若
的必要不充分条件，求
的取值范围。
17．已知函数
且对任意实数
均有
成立
（1）求
表达式；
（2）当
是单调函数，求实数
的取值范围；
18．已知函数
（1）若
，求
的值；
（2）求函数
的单调递增区间。
19．某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东
方向上，且俯角为
的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西
的D处。
（假设客车匀速行驶）
（1）如果此高速路段限速80公里/小时，试问该客车是否超速；
（2）又经过一段时间后，客车到达楼房B的正西方向E处，问此时客车距离楼房B多远。
20．已知
，其中
，若函数
，且函数
的图象与直线
相邻两公共点间的距离为
（2）在
中．
的对边，且
的面积。
21．设函数
时，求
处的切线方程；
时，
皖南八校2014届高三第一次联考
数学文试卷参考答案
1．B （1＋i）2＝2i虚部为2.
2．D A＝{x|y＝log2（x2－1）}＝{x|x2－1＞0}＝{x|x＞1或x＜－1}，B＝{y|y＝（
）x－1}＝{y|y＞0}，A∩B＝{x|x＞1}．
3．A ∵当函数f（x）＝x2－2ax＋2在区间[3，＋∞）内单调递增时，对称轴x＝a≤3，∴“a＝3”是“函数f（x）＝x2－2ax＋2在区间[3，＋∞）内单调递增”的充分不必要条件．
4．C f（x）＝
在定义域上是奇函数，但不单调；
f（x）＝
为非奇非偶函数；
f（x）＝－tanx在定义域上是奇函数，但不单调．所以选C.
5．D ∵点（2，e2）在曲线上，∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2（x－2），即e2x－y－e2＝0，与两坐标轴的交点坐标为（0，－e2），（1，0），∴S＝
×
1×
e2＝
.
6．A 因为|a－b|＝
＝
，
所以cos〈a，a－b〉＝
所以向量a与a－b的夹角为
7．B f（x）＝sin2x－
cos2x＝2sin（2x－
），向左平移m个单位得到g（x）＝2sin[2（x＋m）－
]＝2sin（2x＋2m－
），所以g（
）＝2sin（2×
＋2m－
）＝2sin（2m＋
）＝0，∴2m＋
＝kπ，k∈Z，∵m＞0，∴m的最小值为
，故选B.
8．D 设点P的横坐标为x0（x0>
0），∵y′＝
－
x，∴点P处的切线斜率为k＝
x0∈[0，1]，即0≤
x0≤1，得2≤x0≤2
9．C 由题意知c
a（
＋
）＋
b（
）＝0，
∴（c－
）
＝0，∴（c－
又
、
不共线，∴
∴a＝b＝c.
10．B 依题意可设y关于t（单位：
秒）的函数为y＝－sin（ωt＋φ）（ω>
0，－π<
φ<
π），周期为12，
＝12，∴ω＝
，∴y＝－sin（
t＋φ），当t＝0时，y＝
，sinφ＝－
又－π<
π，∴φ＝－
或－
，又当φ＝－
时，A点坐标为（－
），不合题意．
∴y＝－sin（
t－
）求函数的单调增区间，只需求y＝sin（
）的减区间，2kπ＋
≤
≤2kπ＋
，∴12k＋5≤t≤12k＋11，k＝0时，5≤t≤11.
11.
sin
＝sin（2π＋
）＝sin
12．2 设AC∩BD＝O，由题可知|
|＝
|
|＝1，则
·
＝|
||
|cos∠PAO＝|
|（2|
|）cos∠PAO＝2|
|2＝2.
13．[
，2） 画出函数图象如图所示，由图象可知要使a>
b≥0，f（a）＝f（b）同时成立，
≤b<
1，bf（a）＝b·
f（b）＝b（b＋1）＝b2＋b＝（b＋
）2－
∴
≤b·
f（a）<
2.
14.
＋1 由sinB＋cosB＝
，得1＋2sinBcosB＝2，即sin2B＝1，∵0<
B<
π，∴B＝
又∵a＝
，b＝2，∴在△ABC中，由余弦定理得4＝2＋c2－2
ccos
＝2＋c2－2c，解得c＝
＋1.
15．①③④ 依题意2013被5除的余数为3，则①正确；
－1＝5×
（－1）＋4，则②错误；
整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，③正确；
假设④中a＝4n1＋m1，b＝4n2＋m2，a－b＝4（n1－n2）＋m1－m2，a，b要是同类，则m1－m2＝0，所以a－b∈[0]，反之也成立；
因为a∈[1]，b∈[3]，所以可设a＝5n1＋1，b＝5n2＋3，∴a＋b＝5（n1＋n2）＋4∈[4]，原命题成立，逆命题不成立，如a＝5，b＝9满足a＋b∈[4]，但是a∈[0]，b∈[4]，⑤错误．
16．解：
（1）∵a＝1，∴A＝{x|（x－1）（x－2）≤0}＝{x|1≤x≤2}．（5分）
（2）依题意易得p：
1≤x≤2，q：
a≤x≤a2＋1.（7分）
∵q是p的必要不充分条件，∴
∴a≤－1.（12分）
17．解：
（1）∵F′（x）=ax2+bx+1,
∴f（x）=ax2+bx+1.
∵f（－1）＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，
∴f（x）＝ax2＋（a＋1）x＋1.∵f（x）≥0恒成立，
∴a＝1，从而b＝2，∴f（x）＝x2＋2x＋1.（6分）
（2）g（x）＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋（2－k）x＋1.
∵g（x）在[－2，2]上是单调函数，
≤－2或
≥2，解得k≤－2，或k≥6.
∴k的取值范围为（－∞，－2]∪[6，＋∞）.（12分）
18．解：
（1）由题设知f（x）＝
[1＋cos（2x＋
）]．
因为f（）=0，所以1＋cos（2x0＋
）＝0,
cos（2x0＋
）＝－1，即x0＝kπ＋
π（k∈Z）．
所以g（x0）＝1＋
sin2x0＝1＋
sin（2kπ＋
）＝
.（6分）
（2）h（x）＝f（x）＋g（x）＝
）]＋1＋
sin2x
[cos（2x＋
）＋sin2x]＋
（
cos2x＋
sin2x）＋
sin（2x＋
.
当2kπ－
≤2x＋
，即kπ－
≤x≤kπ＋
（k∈Z）时，
函数h（x）＝
是增函数，
故函数h（x）的单调递增区间是[kπ－
，kπ＋
]（k∈Z）．（12分）
19．解：
（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝60°
，AB＝100米，则BC＝100
米，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°
，AB＝100米，则BD＝100米，
在Rt△BCD中，∠DBC＝75°
＋15°
＝90°
则DC＝
＝200米，所以客车速度v＝
＝1200米/分钟＝72公里/小时，所以此客车没有超速．（6分）
（2）在Rt△BCD中，∠BCD＝30°
又因为∠DBE＝15°
，所以∠CBE＝105°
所以∠CEB＝45°
在△BCE中，由正弦定理可知
所以EB＝
＝50
米．客车距楼房B50
米.（13分）
20．解：
（1）f（x）＝m·
n＝（sinωx＋cosωx，
cosωx）·
（cosωx－sinωx，2sinωx）＝cos2ωx－sin2ωx＋2
sinωxcosωx＝cos2ωx＋
sin2ωx＝2sin（2ωx＋
）．（3分）
∵ω＞0，∴函数f（x）的周期T＝
∵函数f（x）的图象与直线y＝2相邻两公共点间的距离为π.
＝π，∴ω＝1.（6分）
（2）由
（1）可知ω＝1，f（x）＝2sin（2x＋
）．
∵f（A）＝1，∴2sin（2A＋
）＝1.
∴sin（2A＋
∵0＜A＜π，∴
＜2A＋
＜
∴2A＋
⇒A＝
.（10分）
由余弦定理知cosA＝
∴b2＋c2－bc＝3，又b＋c＝3，
联立解得
或
∴S△ABC＝
bcsinA＝
.（13分）
（或用配方法：
∵b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc＝3，b＋c＝3，∴bc＝2，∴S△ABC＝
21．解：
（1）当a＝1，f（x）＝xex－x2
f′（x）＝（x＋1）ex－2x，f′
（1）＝2e－2，f
（1）＝e－1，
故所求切线方程为：
y－（e－1）＝2（e－1）（x－1），
化简得：
2（e－1）x－y－e＋1＝0.（5分）
（2）x>
0，f（x）＝xex－ax2>
0，
a<
设g（x）＝
求导得：
g′（x）＝
当x∈（0，1）时，g′（x）<
0；
当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>
0.
故g（x）在（0，1）单调减少，在（1，＋∞）单调增加．
故y＝g（x）在x＝1时取极小值．
则y＝g（x）在（0，＋∞）时，gmin＝g
（1）＝e.
综上所述：
e，即a的取值范围是（－∞，e）．（13分）
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