版高考数学大一轮复习第十章计数原理103二项式定理试题理北师大版Word格式.docx

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项和

项的二项式系数最大，最大值为

和

（3）各二项式系数和：

C

＋C

＋…＋C

＝2n，

＋…＝C

＋…＝2n－1.

【知识拓展】

二项展开式形式上的特点

（1）项数为n＋1.

（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；

字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

（4）二项式的系数从C

，C

，一直到C

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）C

an－rbr是二项展开式的第r项．（　×

　）

（2）二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．（　×

（3）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．（　√　）

（4）在（1－x）9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．（　×

（5）若（3x－1）7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.（　×

1．（教材改编）（x－y）n的二项展开式中，第m项的系数是（　　）

A．C

B．C

C．C

D．（－1）m－1C

答案　D

解析　（x－y）n展开式中第m项的系数为

（－1）m－1.

2．（2016·

四川）设i为虚数单位，则（x＋i）6的展开式中含x4的项为（　　）

A．－15x4B．15x4

C．－20ix4D．20ix4

答案　A

解析　由题意可知，含x4的项为C

x4i2＝－15x4.故选A.

3．（2016·

南昌模拟）已知n＝

，那么

n展开式中含x2项的系数为（　　）

A．130B．135C．121D．139

答案　B

解析　根据题意，n＝

，则

6中，由二项式定理得通项公式为Tr＋1＝C

（－3）rx6－2r，令6－2r＝2，得r＝2，所以系数为C

×

9＝135.

4．在（

－

）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．

答案　7

解析　由题意知

＋1＝5，解得n＝8，

（

）8的展开式的通项Tr＋1＝C

（

）8－r（－

）r

＝

，令8－

＝0，得r＝6，

则展开式中的常数项为（－1）626－8C

＝7.

题型一　二项展开式

命题点1　求二项展开式中的特定项或指定项的系数

例1　

（1）（2016·

全国乙卷）（2x＋

）5的展开式中，x3的系数是______________．（用数字填写答案）

（2）（2015·

课标全国Ⅰ）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）

A．10B．20

C．30D．60

答案　

（1）10　

（2）C

令5－

＝3，解得r＝4，得∴x3的系数是10.

（2）方法一　利用二项展开式的通项公式求解．

（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，

含y2的项为T3＝C

（x2＋x）3·

y2.

其中（x2＋x）3中含x5的项为C

x4·

x＝C

x5.

所以x5y2的系数为C

＝30.故选C.

方法二　利用组合知识求解．

（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C

命题点2　已知二项展开式某项的系数求参数

例2　

（1）（2015·

课标全国Ⅱ）（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.

（2）（2016·

山东）若

5的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.

答案　

（1）3　

（2）－2

解析　

（1）设（a＋x）（1＋x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16（a＋1）＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16（a＋1）＝2（a1＋a3＋a5），

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8（a＋1），所以8（a＋1）＝32，解得a＝3.

（2）∵

，

∴10－

r＝5，解得r＝2，∴a3C

＝－80，解得a＝－2.

思维升华　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；

求有理项时，指数为整数等），解出项数r＋1，代回通项公式即可．

（1）（x－y）（x＋y）8的展开式中x2y7的系数为________．（用数字填写答案）

（2）（x＋a）10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.（用数字填写答案）

答案　

（1）－20　

（2）

解析　

（1）x2y7＝x·

（xy7），其系数为C

x2y7＝y·

（x2y6），其系数为－C

∴x2y7的系数为C

－C

＝8－28＝－20.

（2）设通项为Tr＋1＝C

x10－rar，令10－r＝7，

∴r＝3，∴x7的系数为C

a3＝15，

∴a3＝

，∴a＝

题型二　二项式系数的和或各项系数的和的问题

例3　在（2x－3y）10的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．

解　设（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，（*）

各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.

由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．

（1）二项式系数的和为C

＝210.

（2）令x＝y＝1，各项系数和为（2－3）10＝（－1）10＝1.

（3）奇数项的二项式系数和为C

＝29，

偶数项的二项式系数和为C

＝29.

（4）令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1（或x＝－1，y＝1），

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510，

∴奇数项系数和为

①－②得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510，

∴偶数项系数和为

（5）x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝

x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝

思维升华　

（1）“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；

对形如（ax＋by）n（a，b∈R）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．

（2）若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f

（1），奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝

，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝

（1）（2017·

北京海淀区月考）设m为正整数，（x＋y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x＋y）2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m等于（　　）

A．5B．6C．7D．8

解析　由题意得a＝C

，b＝C

∴13C

＝7C

，∴

∴

＝13，解得m＝6，经检验符合题意，故选B.

（2）若（1－2x）2016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2016x2016，则

＋

＋…＋

的结果是多少？

解　当x＝0时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.

当x＝

时，左边＝0，右边＝a0＋

∴0＝1＋

即

＝－1.

题型三　二项式定理的应用

例4　

（1）设a∈Z且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a等于（　　）

A．0B．1C．11D．12

（2）1.028的近似值是________．（精确到小数点后三位）

答案　

（1）D　

（2）1.172

解析　

（1）512012＋a＝（52－1）2012＋a＝C

·

522012－C

522011＋…＋C

52·

（－1）2011＋C

（－1）2012＋a，

∵C

（－1）2011能被13整除且512012＋a能被13整除，

∴C

（－1）2012＋a＝1＋a也能被13整除，因此a的值为12.

（2）1.028＝（1＋0.02）8≈C

0.02＋C

0.022＋C

0.023≈1.172.

思维升华　

（1）整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．

（2）二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．

（1）1－90C

＋902C

－903C

＋…＋（－1）r90rC

＋…＋9010C

除以88的余数是（　　）

A．－1B．1C．－87D．87

解析　1－90C

＝（1－90）10＝8910＝（88＋1）10

＝8810＋C

889＋…＋C

88＋1，

∵前10项均能被88整除，∴余数是1.

（2）已知2n＋2·

3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值．

解　原式＝4·

6n＋5n－a＝4（5＋1）n＋5n－a

＝4（C

5n＋C

5n－1＋…＋C

52＋C

5＋C

）＋5n－a

52）＋25n＋4－a，

显然正整数a的最小值为4.

15．二项展开式的系数与二项式系数

（2）（2016·

河北邯郸一中调研）已知（x－m）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，则a1＋a2＋…＋a7＝________.

错解展示

解析　

（1）（

）n展开式中，令x＝1可得4n＝1024，∴n＝5，

∴（

）n展开式的通项

令

＝1，得r＝1.

故展开式中含x项的系数为C

＝5.

（2）a1＋a2＋…＋a7＝C

＝27－1.

答案　

（1）5　

（2）27－1

现场纠错

解析　

（1）在（

）n的展开式中，令x＝1，

可得（

）n展开式的各项系数绝对值之和为4n＝22n＝1024＝210，∴n＝5.

故（

）5