长沙理工大学大一高数期末考试题文档格式.docx
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））也不是曲线yF（x）的拐点。
1
f（x）x
f（t）dt,贝Uf（x）（
（A）2
二、填空题（本大题有
5.
4小题，每小题4分，共16分）
lim（13x）K
x0\/
6.
已知空仝是f（x）的一个原函数
f（x）
空xdx
x
7.
lim
n
—（cos2—
nn
cos
xarcsinx
1dx
8.
三、解答题（本大题有5小题,
设函数yy（X）由方程
1x7
7
9.
每小题
exy
8分，共40分）
sin（xy）1
确定，求
（X）以及y（0）
10.
求
X（1
-dx.）
11.
12.
设f（x）
xex，
\2xx2
g（x）
设函数f（x）连续，
并讨论g（x）
在x0处的连续性.
3f（x）dx.
f（xt）dt
，且
limA（）
x0X，A为常数.求g（x）
13.求微分方程xy2yxsx满足
y（i）
9的解.
四、解答题（本大题io分）
14.已知上半平面内一曲线yy（x）（x°
），过点（O,1），且曲线上任一点M（xo，yo）处切线
斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线Xx°
所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲
线方程.
五、解答题（本大题1°
分）
15.过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.
（1）求D的面积A；
（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16.设函数f（x）在
q1
f（x）dxq
00
0,1上连续且单调递
f（x）dx
减，证明对任意的q
[0,1]
17.设函数f（x）在0,
f（x）d
上连续，且0
0f（x）cosxdx
.证明:
在0,内至少存在两个不同的点1
F（x）f（x）dx
0）
f（Jf
（2）0.（提示：
一、单项选择题（本大题有4小题，每小题
1、D2、A3、C
4分，共16分）
4、C
6
5.e
三、解答题（本大题有解：
方程两边求导
y）
4小题，每小题
1COSX2.6.2T
5小题，每小题
4分，共
c
.7.
8分,:
xy.
e（1
y（x）
x0,
y
解：
ux
原式
16分）
40分）
cos（xy）（xy
exyexy
0，y（0）
7x6dx
ycos（xy）
xcos（xy）
du
7u（1
外n|u|
】ln|x717
閱3f（x）dx
3
2ln|u
In|1
xe
（丄
u
1|）
x7
xdx
u1）du
02xx2dx
12.解：
由
g（0）
2e3
f（0）
1、1（x1）2dx
02人
cosd（令x
1sin）
g（o）
-
f（u）du
xtu
xf（x）f（u）du
x2
xf（x）
（x
0）
x02x
戈叫g（x）
00
~2
13.
dy解:
dx
2-yx
2—dx
四、
14.
In
—dx
Inxdx
C）
2，g（x）在x
0处连续。
Ixln
9x
Cx2
y
（1）,c
9
解答题（本大题
由已知且y
丄xlnx
10分）
ydx
将此方程关于x求导得y
,2
2y
特征方程：
r
其通解为y
C1e
0解出特征根：
r1
C2e2x
代入初始条件
y（0）
（0）
故所求曲线方程为：
五、解答题（本大题10分）
3e
1C1
1，得
12x
3'
C2
15.解：
（1）根据题意，先设切点为
（X0,lnx°
，切线方程:
yInX。
-L（x
X0
由于切线过原点，解岀
A
则平面图形面积
X。
e，从而切线方程为:
1y1
（eey）dye102
（2）三角形绕直线曲线ylnx与x轴及直线x
V2（e
x=e一周所得圆锥体体积记为
V1,
=e所围成的图形绕直线
ey）2dy
V1则
x=e一周所得旋转体体积为V2
VV1V2
D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，
q
f（x）dx
石（5e212e
3）
16.证明：
（1q）
1[0,q]2[q,1]
q（1
f（x）dx
i
qf（x）dx
共12分）
f（x）d
q（
f（x）dx
f（x）dx）
f（x）dx
f（i）
q）f
（1）q（i
q）f（
2）
故有：
17.
证毕。
证：
构造辅助函数：
F（x）f（x），且F（0）
f（t）dt,0x
F（
。
其满足在
[0,
］上连续，在（0,）上可导。
由题设，有
f（x）cosxdx
cosxdF（x）
F（x）cosx|0
sin
xF（x）dx
F（x）sin
有0
综上可知
在
F（0）F
由积分中值定理,
F（）0,
存在
（0,
）sin
（0，），使F（
）.在区间【°
，］，【，］上分别应用罗尔定理,
知存
（°
）和
，），使F（
1）0及F
（2）0，即f
（1）f
（2）0
等数学I
解答
-、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选岀一个正确答案，填在题末的括号中）
（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
1.当xX0时，X,X都是无穷小，则当XX0时（D）不一定是无穷小
（A）
In1
ma
HX
sinx
sina
（x）（x）
xa
2（x）
（A）1
（B）e
cotatana
e（D）e
e2ax1
3.
a
0在x
0处连续，则a=（D
e
（D）1
的值是（C
4设f（x）在点xa处可导，那么
m
Hh
2h
（A）3f（a）
（C）f（a）
（B）2f（a）
、填空题（本大题有
极
5
\）/a
严）
o
2sin2x-yexy
x
xexylnx
3y5z6都平行，则直线I的方程
0）和（1,+）
6.由弍‘ylnxcos2x确定函数y（x），则导函数y
7.直线I过点M（1,2,3）且与两平面x2yz°
2x
x1y2z3
..（1lim
x）xe
计算极限
x0
x.
-ln（1
x）1
lim（1
x）x
eex
elim
ln（1x）xelim2
解:
x0x2
v
VV
已知：
|a|3，
|b|26V
b
30
，求|abl。
为111.
8.求函数y2xln（4x）的单调递增区间为（—
三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）
F（x）（xt）f（t）dtx[a,b]
F（x）
12.求
四、解答题
xf（t）dttf（t）dt
cosx
3-sinx
-xsin
xf（x）xf（x）
xdsin
x—sin
（本大题有4小题，每小题
2dx
2x.x21
13.求3
令1t
T
dt
f（t）dt
2xdx
cotxC
8分，共32分）
古）dt
arcsint
14.求函数
函数的定义域（一
t2
2x
+
令y
y
（1）
的极值与拐点•
2（1x）（1
2、2
（1x）
0得x1=1,x2=-1
0x1=1是极大值点，
y
（1）1，极小值y
（1）
x）
4x（3x2）
（1）°
X2=-1是极小值点
（-
，-瓦
（-込,0）
（0,^3）
小,+）
—
+
极大值
0得x3=0,x4=3,x5=-3
故拐点（-
15.求由曲线
2）,（0,0）（
4与y3xx所围成的平面图形的面积.
12x4x0,
3x
S6
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