最新高等数学下册期末考试试题含答案ZPWord下载.docx

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．

3．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：

（1）

；

（3）

沿在右半平面的路径；

（4）

沿不通过原点的路径；

（1）P=x-y，Q=y-x．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且

，故积分与路径无关．取L为从（0,0）到（1,1）的直线段，则L的方程为：

y=x，x：

0→1．于是

（2）P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且

，有

，所以积分与路径无关．

取L为从（1,2）→（1,4）→（3,4）的折线，则

，P，Q在右半平面内有连续偏导数，且

，在右半平面内恒有

，故在右半平面内积分与路径无关．

取L为从（1,1）到（1,2）的直线段，则

（4）

在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，

取L为从（1,0）→（6,0）→（6,8）的折线，则

4．若流体流速

，求单位时间内穿过

球面

的流量.

5．计算下列对面积的曲面积分：

，其中

为平面

在第I卦限中的部分；

为平面2x+2y+z=6在第I卦限中的部分；

其中

为球面x2+y2+z2=a2上z≥h（0<

h<

a）的部分；

为锥面

被柱面x2+y2=2ax所截得的有限部分；

（5）

为上半球面

（如图10-69所示）

图10-69

:

z=6-2x-2y（如图10-70所示）。

图10-70

且其在xOy面上的投影为Dxy:

x2+y2≤a2-h2且

（5）Dxy:

x2+y2≤R2

6．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：

（1）D:

，求Iy;

（2）D由抛物线

与直线x=2所围成，求Ix和Iy；

（3）D为矩形闭区域：

0≤x≤a,0≤y≤b,求Ix和Iy.

（1）令x=arcosθ,y=brsinθ,则在此变换下

D：

变化为

：

r≤1,即

0≤r≤1,0≤θ≤2π,且

所以

（2）闭区域D如图10-35所示

图10-35

7．计算积分

由于

而

收敛，

收敛，从而，采用极坐标有：

8．在平面xOy上求一点，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。

设所求点为P（x,y），P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线x+2y-16=0的距离为

距离的平方和为

得唯一驻点

因实际问题存在最小值，故点

即为所求。

9．求函数u=xy2+z3-xyz在点（1，1,2）处沿方向角为

的方向导数。

10．证明：

螺旋线x=acost,y=asint,z=bt的切线与z轴形成定角。

证明：

螺旋线的切向量为

与z轴同向的单位向量为

两向量的夹角余弦为

为一定值。

故螺旋线的切线与z轴形成定角。

11．求下曲线在给定点的切线和法平面方程：

（1）x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,点

;

（2）x2+y2+z2=6,x+y+z=0,点M0（1,-2,1）;

（3）y2=2mx,z2=m-x,点M0（x0,y0,z0）.

曲线在点

的切向量为

当

时，

切线方程为

法平面方程为

即

（2）联立方程组

它确定了函数y=y（x）,z=z（x），方程组两边对x求导，得

解得

在点M0（1，-2，1）处，

所以切向量为{1，0，-1}.

故切线方程为

1（x-1）+0（y+2）-1（z-1）=0

即x-z=0.

（3）将方程y2=2mx,z2=m-x两边分别对x求导，得

于是

曲线在点（x0,y0,z0）处的切向量为

故切线方程为

12．设F（x,y,z）=0可以确定函数x=x（y,z）,y=y（x,z）,z=z（x,y）,证明：

∵

∴

13．设

，其中f（u）为可导函数，验证：

∵

14．求下列微分方程的通解：

特征方程为

故原方程通解为

15．求下列函数的偏导数：

（1）z=x2y+

（2）s=

（3）z=xln

（4）z=lntan

（5）z=（1+xy）y;

（6）u=zxy;

（7）u=arctan（x-y）z;

（8）

（5）两边取对数得

故

（6）

（7）

（8）

16．把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以

表示向量

和

17．已知

试求

f（x+y,x-y,xy）=（x+y）xy+（xy）x+y+x-y=（x+y）xy+（xy）2x.

18．判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？

并分别指出它们的聚点集和边界：

（1）{（x,y）|x≠0};

（2）{（x,y）|1≤x2+y2<

4};

（3）{（x,y）|y<

x2};

（4）{（x,y）|（x-1）2+y2≤1}∪{（x,y）|（x+1）2+y2≤1}.

（1）开集、无界集，聚点集：

R2，边界：

{（x,y）|x=0}.

（2）既非开集又非闭集，有界集,

聚点集：

{（x,y）|1≤x2+y2≤4}，

边界：

{（x,y）|x2+y2=1}∪{（x,y）|x2+y2=4}.

（3）开集、区域、无界集，

{（x,y）|y≤x2}，

{（x,y）|y=x2}.

（4）闭集、有界集，聚点集即是其本身，

{（x,y）|（x-1）2+y2=1}∪{（x,y）|（x+1）2+y2=1}.

19．设有一圆，它的中心在z轴上，半径为3，且位于距离xOy平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.

设（x，y，z）为圆上任一点，依题意有

即为所求圆的方程.

20．求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交线的平面方程.

设过两平面的交线的平面束方程为

其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）

解得λ=-4.

故所求平面方程为

2x+15y+7z+7=0

21．试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：

和4x-2y-2z=3;

和3x-2y+7z=8;

和x+y+z=3.

平行而不包含.因为直线的方向向量为s={-2，-7，3}

平面的法向量n={4，-2，-2}，所以

于是直线与平面平行.

又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有

.故直线不在平面上.

（2）因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.

（3）直线在平面上，因为

而直线上的点（2，-2，3）在平面上.

22．指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：

（1）y=0;

（2）3x-1=0;

（3）2x-3y-6=0;

（4）x–y=0;

（5）2x-3y+4z=0.

（1）y=0表示xOz坐标面（如图7-2）

（2）3x-1=0表示垂直于x轴的平面.（如图7-3）

图7-2图7-3

（3）2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y=-2的平面.（如图7-4）

（4）x–y=0表示过z轴的平面（如图7-5）

（5）2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.

图7-4图7-5图7-6

23．求过（1,1,-1）,（-2,-2,2）和（1，-1，2）三点的平面方程.

由平面的三点式方程知

代入三已知点，有

化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.

24．求直线

的标准式方程和参数方程.

所给直线的方向向量为

另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17

于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:

且直线的参数方程为：

25．一动点与M0（1,1,1）连成的向量与向量n=（2,3,-4）垂直，求动点的轨迹方程.

设动点为M（x,y,z）

因

故

即2（x-1）+3（y-1）-4（z-1）=0

整理得：

2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程.

26．解：

设四面体的底为

，从

点到底面

的高为

，则

所在的平面方程为:

则

27．已知a=（4,-2,4）,b=（6,-3,2）,计算：

（1）a·

b;

（2）（2a-3b）·

（a+b）；

（3）

（2）

28．已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且

，求向径

的坐标.

设向径

={x,y,z}

因为，

所以，

={

}.

29．一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.

设此向量的起点A的坐标A（x,y,z），则

解得x=-2,y=3,z=0

故A的坐标为A（-2,3,0）.

30．利用全微分代替全增量，近似计算：

（1）（1.02）3·

（0.97）2;

（2）

（3）（1.97）1.05.

（1）设f（x,y）=x3·

y2，则

故df（x,y）=3x2y2dx+2x3ydy=xy（3xydx+2x2dy）

取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则

（1.02）3·

（0.97）2=f（1.02,0.97）≈f（1,1）+df（1,1）

=13×

12+1×

1[3×

1×