时间序列分析讲义第10章协方差平稳向量过程Word文档格式.docx
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利用滞后算子形式，可以将
模型表示成为：
（10.3）
其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：
，
定义10.1如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。
此时下述变量与初始时间
无关：
和
命题10.1如果一个向量过程满足
模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：
（1）该过程的均值向量可以表示成为：
（10.4）
（2）
模型可以表示成为中心化形式：
（10.5）
10.2向量自回归方程的表示和平稳性条件
与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR（p）模型表示成为VAR
（1）的形式。
为此，我们定义更高阶的向量为：
利用上述表示，可以将VAR（p）模型表示成为紧凑形式为：
（10.6）
此时向量误差的协方差矩阵为：
此处协方差矩阵为：
对方程（10.6）进行叠代，可以得到：
显然，当向量过程是平稳过程时，任何给定的误差过程的影响一定要随着时间消失，这时矩阵
的所有特征根都要落在单位圆内。
类似的命题有：
命题10.2矩阵
的特征根满足下列方程：
（10.7）
与此对应，VAR（p）模型是向量协方差平稳过程的条件是下述方程的特征根全部落在单位圆外：
对向量协方差平稳过程而言，我们也可以类似地定义和讨论它的协方差性质。
例如，时间间隔为j的协方差矩阵为：
（10.8）
但是需要注意的是，此时不满足等式：
，正确的对应关系为：
针对协方差平稳的VAR（p）模型，假设：
（10.9）
进一步可以得到：
因此有：
（10.10）
上述公式建立了向量协方差之间的关系。
10.3向量自回归模型的极大似然估计和假设检验
显然，在协方差平稳过程中，向量自回归模型是比较容易进行估计和预测的，由于Sims（1980）做出了具有影响性的研究，使得VAR模型在进行经济系统的动态分析中变得十分流行。
下面我们主要介绍没有限制条件的VAR模型的估计问题。
1.向量自回归的条件似然函数
假设
维向量
满足
阶高斯—向量自回归模型：
（10.11）
是高斯噪声向量，满足：
上述模型估计类似于单变量AR模型。
2.似然比检验
对于VAR模型而言，检验模型的自回归阶数的假设检验可以很容易和方便地通过似然比检验进行，此时模型的原假设和备选假设为：
；
（10.12）
此时的似然比统计量为：
这里的s是原假设的限制参数个数，此时
10.4二元变量的Granger因果关系检验
可以利用向量自回归模型处理的一个重要问题是判断一些变量在预期其他变量时是否有用。
这时我们需要描述二元变量之间的关系。
这种方法最早由Granger（1969）提出，通过Sims（1972）的应用使其流行起来。
1.二元变量Granger因果性的定义
考虑两个单变量
，我们需要解决的问题是如何判断
是否有助于预测
。
如果
无助于预测
，我们则称
对
没有显著的Granger因果影响（
doesnotGranger-cause
）。
我们可以更为正式地描述这样的关系：
如果对所有的
，基于
预测
的均方误差与使用
的均方误差是相同的，则称
没有对
产生Granger因果影响。
如果我们仅仅考虑线性约束，则
产生Granger因果影响的条件为：
对所有
，有：
（10.13）
上述表达式还有一个等价的说法，如果上式成立，则称
在时间序列的意义上相对于
是外生的。
这样的关系还有第三种称呼，如果上式成立，则称
对于未来的
不具有线性信息性。
最早Granger提出如此定义的原因是，如果一个事件
是另外一个事件
的原因的话，那么事件
应该先于事件
发生。
虽然从哲学角度这样的关系可能是对的，但是在实践中如何检验这样的关系则是艰难的。
2.Granger因果性的另一种解释
在描述二元变量
的VAR模型中，可以利用回归系数矩阵来说明
之间的Granger因果关系。
命题10.3如果在
的VAR模型中，对所有
，系数矩阵
都是下三角矩阵，即：
（10.14）
证明：
根据整个系统的第一行可以知道，关于
的最优一阶段预测仅仅依赖自身的滞后值，而不依赖
的滞后值：
进一步，可以得到：
根据投影的叠代定律，以及数学归纳法，我们可以证明对任意超前
阶段的预测都仅仅依赖
Sims（1972）给出了Granger因果关系的另外一种通俗的解释，可以归纳为下面的命题：
命题10.4考虑
基于
的过去、现在和将来值的投影：
（10.15）
这里
均是母体投影系数，即满足：
则
产生Granger因果影响的充分必要条件为：
（10.16）
这个命题说明，如果
产生Granger因果影响，则未来的
值对解释当期的
没有任何帮助。
3.Granger因果性的计量检验
上面我们给出了三种Granger因果关系的解释，任何一种解释都可以用来进行计量检验。
其中最为简单也可能是最好的方法是在VAR模型中检验系数约束。
为了进行如此检验，我们利用OLS对下述方程进行估计：
（10.17）
我们对下面的原假设进行F—检验：
这里进行F—检验的一种办法是计算回归方程（10.17）的残差平方和（我们需要
个样本）：
（10.18）
在原假设成立下，我们计算下面OLS回归的残差平方和：
（10.19）
对应的残差平方和为：
（10.20）
此时定义检验统计量为：
（10.21）
如果该统计量大于
分布的5%临界值，则我们拒绝“
产生Granger因果影响”的原假设；
这就是说，当统计量
充分大以后，我们将得“
产生Granger因果影响”的结论。
显然，对于具有固定回归因子和残差高斯分布的假设下，上述统计量具有确切的F—分布。
但是，在自回归方程中由于解释变量具有相依性，因此这些分布性质则是渐近成立的。
因此，一个等价的渐近检验统计量为：
（10.22）
显然，还有多种Granger因果关系的检验方法，但大都不具有普遍性。
4.解释Granger因果关系检验
显然，什么是“Granger因果性”与“因果关系”标准含义之间的关联，我们可以通过一些例子来加以说明。
例10.1Granger因果关系检验与前瞻性行为
假设投资者在时刻t以价格
购买一股股票，则在时刻
该投资者可以获得红利
，并以价格
出售该股票。
该股票的事后收益率（表示为
）满足：
（10.23）
如果任何时期的股票预期收益率总是
的话，则简单的股票价格公式可以表示为：
（10.24）
这个简单定价公式蕴涵着有效市场假说（efficientmarketshypothesis）。
如果具有边界条件的话，可以得到下面公式：
（10.25）
按照这样的理论，则股票价格中蕴涵着未来红利现值的最优预测。
如果这种预测是基于比过去红利更多的信息基础上，因为投资者试图预测红利中的变动，因此导致股票价格对红利产生Granger因果性。
为了简单地说明这一点，假设：
（10.26）
是相互独立的Gaussian白噪声，
是红利的均值。
假设时刻t的投资者知道的信息有
，则基于这些信息对
的最优预测为：
（10.27）
将上述公式代入到方程（10.25），可以得到股票价格为：
（10.28）
显然，在这个例子中，股票价格是白噪声，因此无论以滞后股票价格或者红利价格来为基础进行预测。
因此，没有任何时间序列可以对股票价格产生Granger因果影响。
另一方面，我们可以从股票价格中将
恢复出来：
注意到
中包含着
中没有的关于
的信息，因此股票价格将对红利产生Granger因果影响，虽然红利无法Granger影响到股票价格。
股票价格和红利序列的二元VAR模型可以表示为：
（10.29）
很有趣的事情是，在这个例子中，变量之间的影响关系与真实关系正好相反。
此时，红利变量无法对股票价格产生Granger因果性，虽然投资者对红利的察觉是股票价格的唯一确定因素；
另一方面，股票价格却对红利产生了Granger因果性，虽然现实中股票的市场变化对红利过程没有作用效应。
一般来说，象股票和利率这些反映出前瞻性行为的时间序列，经常可以作为一些重要经济时间序列的优秀和判断或预期因子。
显然，这并不意味着这些时间序列导致GNP或者通货膨胀率上升或下降。
与此相反，这些序列的值反映了判断GNP或通货膨胀率变化方向的最好的市场信息。
对这些时间序列的Granger因果性的检验有助于评价有效市场观点或者探讨是否市场关注或者能够预测GNP或通货膨胀，而不是用于推断因果关系的方向。
例10.2检验强经济计量外生性（TestingforStrictEconometricExogeneity）
二次世界大战后美国经济衰退大都以原油价格的急剧上涨为开始的，这是不是意味着石油危机或者石油冲击是衰退的原因呢？
一种可能性是这种相关性是巧合。
即使生成这些时间序列的机制是互不相关的，也可能出现石油冲击与衰退在类似的时间上同时出现。
为了检验这种可能性，我们检验“石油价格对GNP没有Granger因果性”，但是，数据检验拒绝了这个原假设，这意味着“石油价格有助于推断GNP的变化”。
为了对这个因果关系给出真正意义上的因果关系的解释，我们需要建立这样的判断：
石油价格的提高并不反映其他宏观经济因素的影响，而这些因素确实是经济衰退的真正原因。
主要石油价格的提高大都伴随着显著的历史事件，例如Suezcrisis（1956-1957）、Iraq’sinvasionofKuwait（1990）等，显然这些事件完全有美国经济以外的因素造成的，而且是完全不可推断的。
如果这个观点正确的话，那么石油价格和GNP之间的历史相关性就具有因果关系上的解释。
这个观点具有一个值得批驳的启示，那就是没有时间序列能够Granger影响到石油价格，事实上，在经验研究上，很少能够找到宏观时间序列能够有助于推断石油冲击发生的时点。
例10.3缺损信息的作用（RoleofOmittedInformation）
考虑到下面
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