北师大版八年级数学上册 三角形解答题专题练习解析版.docx

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北师大版八年级数学上册三角形解答题专题练习解析版

北师大版八年级数学上册三角形解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究一：

如图1．在△ABC中，已知O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现．理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC与∠ACB的平分线，

∴，；

∴，

∴

（1）探究二：

如图2中，已知O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？

并说明理由．

（2）探究二：

如图3中，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？

【答案】

（1），理由见解析；

（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠OCD=∠ACD=∠A+∠OBD，∠BOC=∠OCD-∠OBC，然后整理即可得解；

（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；

【详解】

（1），理由如下：

∵BO和CO分别是与的平分线，

∴，，

又∵是的一个外角，

∴，

∵是的一个外角，

∴

即

（2）∵BO与CO分别是∠CBD与∠BCE的平分线，

∴∠OBC=∠CBD，∠OCB=∠BCE

又∵∠CBD与∠BCE都是△ABC的外角，

∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，

∴∠OBC=∠CBD=（∠A+∠ACB），∠OCB=∠BCE=（∠A+∠ABC），

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

∴

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．

2．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

（1）求证：

∠A+∠C＝∠B+D；

（2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．

①以线段AC为边的“8字型”有　　个，以点O为交点的“8字型”有　　个；

②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；

③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）①3，4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；

（2）①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；

②根据

（1）的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=（∠B+∠C），然后将∠B=100º，∠C=120º代入计算即可；

③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.

【详解】

解：

（1）在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠A+∠C＝∠B+∠D；

（2）解：

①以线段AC为边的“8字型”有3个：

以点O为交点的“8字型”有4个：

②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，

以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，

∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，

∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，

∴2∠P＝∠B+∠C，

∵∠B＝100°，∠C＝120°，

∴∠P＝（∠B+∠C）=（100°+120°）＝110°；

③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：

∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，

∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，

以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，

以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP

∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），

∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．

∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，

∴3∠P＝∠B+2∠C．

故答案为：

（1）证明见解析；

（2）①3，4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理：

三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．

3．

（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

②设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？

（用含有x或y的代数式表示）

③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

（2）如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？

如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.

【答案】

（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y；③∠A=（∠1+∠2）；

（2）变化，∠A=（∠2-∠1），见详解

【解析】

【分析】

（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；

②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；

③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-∠1，y=90-∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=（∠1+∠2）；

（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．

【详解】

（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，

其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；

②）∵∠AED=x，∠ADE=y，

∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，

∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；

③∠A=（∠1+∠2）；

∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，

∴x=90-∠1，y=90-∠2，

∴∠A=180°-x-y=190-（90-∠1）-（90-∠2）=（∠1+∠2）．

（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，

∴∠A′=∠A，

又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，

∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，

即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，

整理得，2∠A=∠2-∠1．

∴∠A=（∠2-∠1）．

【点睛】

此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

4．探究：

（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：

∠P＝90°+∠A．

（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．

（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．

【答案】

（1）见解析；

（2）∠A＝∠P，理由见解析；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：

（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，

（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.

【详解】

证明：

（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．

又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC＝∠ABC，

∠PCB＝∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A），

根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；

（2）∠A＝∠P，理由如下：

∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，

∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE．

∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，

∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，

∴∠ACP＝∠ABC+∠A，

∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，

∴∠A＝∠P．

（3）∠P＝90°﹣∠A，理由如下：

∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°

∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）

＝180°﹣（∠FBC+∠ECB）

＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）

＝180°﹣（∠A+180°）

＝90°﹣∠A．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解.

5．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．

（1）求证：

∠BAG=∠BGA；

（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．

①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；

②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；

（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：

∠PBM的值．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）①20°；②160°；（3）或

【解析】

【分析】

（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.

（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM的值即可.

【详解】

（1）∵AD∥BC，

∴∠GAD=∠BGA，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG=∠GAD，

∴∠BAG=∠BGA；

（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，

∴∠GCF=45°，

∵AD∥BC，∠ABC=50°，

∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG=∠GAD=65°，

∴∠AFC=65°﹣45°=20°；

②如图：

∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，

∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；

（3）有两种情况：

①当M在BC的下方时，如图：

∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，

∴∠ABP=（）°，∠PBG=（）°，

∵AG∥CH，

∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，

∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（+25）°=（）°，

∴∠A