届人教A版文 四 数列 检测卷Word文档格式.docx

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∴由图表可得x2＝f（x1）＝3，x3＝f（x2）＝5，x4＝f（x3）＝6，x5＝f（x4）＝1，x6＝f（x5）＝3，…，

∴数列{xn}是周期为4的周期数列，

∴x1＋x2＋…＋x2018

＝504（x1＋x2＋x3＋x4）＋x1＋x2

＝504×

15＋4＝7564．

故选A．

（2）由于{an}是等比数列，

则a3a5＝a

＝4，又a2＝12，

则a4＞0，a4＝2，q2＝

，

当q＝－

时，

{an}和{Sn}不具有单调性，选项A和B错误；

a2n＝a2q2n－2＝12×

n－1单调递减，选项C正确；

时，{S2n}不具有单调性，选项D错误．

（1）A　

（2）C

（1）解决数列的单调性问题的下三种方法

①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列．

②用作商比较法，根据

（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断．

③结合相应函数的图象直观判断．

（2）解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

（3）数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．

1．（2016·

安徽皖江名校联考）已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝

，数列{an}的前n项和为Sn，则S2016＝（　　）

A．504B．588

C．－588D．－504

解析：

选C　∵a1＝2，an＋1＝

∴a2＝

，a3＝－

，a4＝－3，a5＝2，…，

∴数列{an}是周期为4的周期数列，

且a1＋a2＋a3＋a4＝－

∵2016＝4×

504，

∴S2016＝504×

＝－588．

2．（2016·

全国乙卷）设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．

设等比数列{an}的公比为q，

则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q（a1＋a3）＝5，

知q＝

．又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8．

故a1a2…an＝a

q1＋2＋…＋（n－1）＝23n·

＝2

．

记t＝－

＋

＝－

（n2－7n）＝－

2＋

结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6．

又y＝2t为增函数，

从而a1a2…an的最大值为26＝64．

答案：

64

数列的和

　如果有穷数列a1，a2，a3，…，am（m为正整数）满足条件a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，即ai＝am－i＋1（i＝1，2，…，m），我们称其为“对称数列”．例如，数列1,2,3,4,3,2,1与数列a，b，c，c，b，a都是“对称数列”．

（1）设{bn}是8项的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4是等差数列，且b1＝1，b5＝13．依次写出{bn}的每一项；

（2）设{cn}是2m＋1项的“对称数列”，其中cm＋1，cm＋2，…，c2m＋1是首项为a，公比为q的等比数列，求{cn}的各项和Sn．

（1）设数列{bn}的前4项的公差为d，

则b4＝b1＋3d＝1＋3d．

又因为b4＝b5＝13，解得d＝4，

所以数列{bn}为1,5,9,13,13,9,5,1．

（2）由题意得，当q≠1时，Sn＝c1＋c2＋…＋c2m＋1

＝2（cm＋1＋cm＋2＋…＋c2m＋1）－cm＋1

＝2a（1＋q＋q2＋…＋qm）－a

＝2a·

－a．

而当q＝1时，Sn＝（2m＋1）a．

∴Sn＝

（1）本题在求等比数列{cn}前n项和时可利用分类讨论思想．

（2）分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有

①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．

②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．

③项数的奇、偶数讨论．

④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．

⑤求数列{|an|}的前n项和要用到分类讨论．

（2016·

浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．

（1）求通项公式an；

（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和．

解：

（1）由题意得

解得

又当n≥2时，

由an＋1－an＝（2Sn＋1）－（2Sn－1＋1）＝2an，

得an＋1＝3an，

所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*．

（2）设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，

则b1＝2，b2＝1．

当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，

故bn＝3n－1－n－2，n≥3．

设数列{bn}的前n项和为Tn，

则T1＝2，T2＝3，

当n≥3时，

Tn＝3＋

－

＝

因为当n＝2时，

也符合Tn＝

所以Tn＝

构造法求通项公式

（1）已知数列{an}满足a1＝3，且an＋1＝4an＋3（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（　　）

A．an＝22n－1＋1B．an＝22n－1－1

C．an＝22n＋1D．an＝22n－1

（2）已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×

5n，则数列{an}的通项an＝（　　）

A．－3×

2n－1B．3×

2n－1

C．5n＋3×

2n－1D．5n－3×

（1）由an＋1＝4an＋3，

得an＋1＋1＝4（an＋1），

故数列{an＋1}是首项为a1＋1＝4，公比为4的等比数列，

所以an＋1＝4n，

所以an＝22n－1．

（2）法一：

在递推公式an＋1＝2an＋3×

5n的两边同时除以5n＋1，得

×

，①

令

＝bn，则①式变为bn＋1＝

bn＋

即bn＋1－1＝

（bn－1），

所以数列{bn－1}是等比数列，

其首项为b1－1＝

－1＝－

，公比为

所以bn－1＝

n－1，

即bn＝1－

所以

＝1－

n－1＝1－

故an＝5n－3×

2n－1．

法二：

设an＋1＋k·

5n＋1＝2（an＋k×

5n），

则an＋1＝2an－3k×

5n，与题中递推公式比较得k＝－1，

即an＋1－5n＋1＝2（an－5n），

所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，则an－5n＝－3×

2n－1，故an＝5n－3×

（1）D　

（2）D

利用构造法求解数列的通项公式，关键在于递推关系的灵活变形，当an与an－1的系数相同时，主要是通过构造等差数列或利用累加法求通项；

若两者的系数不同，则应构造等比数列或利用作商之后再累乘的方法求解．求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定累加、累乘最后一个式子的形式．本题的递推公式是an＋1＝αan＋β×

αn的推广an＋1＝αan＋β×

γn，两边同时除以γn＋1后得到

·

，转化为bn＋1＝kbn＋

的形式，通过构造公比是

的等比数列

求解．

1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝

（n∈N*），则an＝________．

因为an＋1＝

（n∈N*），

＋1，设

＋t＝3

所以3t－t＝1，解得t＝

＝3

又

＝1＋

所以数列

是以

为首项，3为公比的等比数列，所以

3n－1＝

所以an＝

2．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×

2n＋1，则an＝______________．

由a1＝2，an＋1－4an＝3×

2n＋1得，

＝3，

设bn＝

，则bn＋1＝2bn＋3，

设bn＋1＋t＝2（bn＋t），

所以2t－t＝3，

解得t＝3，

所以bn＋1＋3＝2（bn＋3），

＝2，

又b1＋3＝

＋3＝1＋3＝4，

所以数列{bn＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以bn＋3＝4×

2n－1＝2n＋1，

所以bn＝2n＋1－3，

所以an＝bn·

2n＝（2n＋1－3）×

2n＝22n＋1－3×

2n．

22n＋1－3×

2n

1．在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1（n∈N*）的个位数，则a2016＝（　　）

A．8　　　　　　　　　B．6

C．4D．2

选B　由题意得：

a3＝4，a4＝8，a5＝2，a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，…，所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a2016＝a335×

6＋6＝a6＝6．

2．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）在函数f（x）＝x2＋x－2的图象上，则数列{an}的通项公式为（　　）

A．an＝2n－2B．an＝n2＋n－2

C．an＝

D．an＝

选D　由于点（n，Sn）在函数f（x）的图象上，则Sn＝n2＋n－2，当n＝1时，得a1＝S1＝0，当n≥2时，得an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－2－＝2n．故选D．

3．若数列{bn}的通项公式为bn＝－

＋13，则数列{bn}中的最大项的项数为（　　）

A．2或3B．3或4

C．3D．4

选B　设数列{bn}的第n项最大．

由

即

整理得

解得n＝3或n＝4．

又b3＝b4＝6，

所以当n＝3或n＝4时，bn取得最大值．

4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋（n＋2）an}为等差数列，则an＝（　　）

A．

B．

C．

D．

选A　设bn＝nSn＋（n＋2）an，

则b1＝4，b2＝8，

又{bn}为等差数列，所以bn＝4n，

所以nSn＋（n＋2）an＝4n，

所以Sn＋

an＝4．

当n≥2时，

Sn－Sn－1＋

an－

an－1＝0，

an＝

an－1，

即2·

又因为

＝1，

是首项为1，

公比为

的等比数列，

n－1（n∈N*），

（n∈N*）．

5．（2017·

山西省质检）记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若

－7·

－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a

，则

的最小值是（　　）

选C　∵{an}是等比数列，设{an}的公比为q，

∴

＝q6，

＝q3，

∴q6－7q3－8＝0，

解得q＝2，又a1ama2n＝2a

∴a