高考数学 热点题型和提分秘籍 专题03 逻辑联结词全称量词与存在量词 文docWord文档下载推荐.docx

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④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔（綈p）∨（綈q）真。

⑤綈p真⇔p假；

綈p假⇔p真。

【举一反三】

命题p：

函数f（x）＝x3－3x在区间（－1,1）内单调递减，命题q：

函数f（x）＝|sin2x|的最小正周期为π，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∨qC．p∨qD．（綈p）∧（綈q）

【答案】C

【解析】由f′（x）＝3x2－3＜0，解得－1＜x＜1，故函数f（x）＝x3－3x在区间（－1,1）内单调递减，即命题p为真命题；

函数y＝sin2x的最小正周期为π，则函数f（x）＝|sin2x|的最小正周期为

，即命题q为假命题．由于p真、q假，故p∧q为假命题，p∨q为真命题；

由于綈p假、q假，故（綈p）∨q为假命题；

由于綈p假，綈q真，故（綈p）∧（綈q）为假命题。

热点题型二全称命题、特称命题的真假判断

例2、

（1）下列命题中的假命题是（　　）

A．∀x∈R，x2≥0

B．∀x∈R,2x－1＞0

C．∃x0∈R，lgx0＜1

D．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2

（2）已知命题p：

∀x∈R,2x＜3x，命题q：

∃x0∈R，x

＝1－x

，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧q

C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）

【答案】

（1）D

（2）B

【提分秘籍】全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称

真假

判断方法一

判断方法二

全称命题

真

所有对象使命题真

否定为假

假

存在一个对象使命题假

否定为真

特称命题

存在一个对象使命题真

所有对象使命题假

【举一反三】

已知a＞0，函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是（　　）

A．∃x0∈R，f（x0）≤f（m）

B．∃x0∈R，f（x0）≥f（m）

C．∀x∈R，f（x）≤f（m）

D．∀x∈R，f（x）≥f（m）

【解析】因为a＞0，所以函数f（x）＝ax2＋bx＋c在x＝－

处取得最小值，所以f（m）是函数f（x）的最小值。

故选C。

热点题型三含有一个量词的命题的否定

例3．

（1）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则（　　）

A．綈p：

∃x0∈A,2x0∈B

B．綈p：

∃x0∉A,2x0∈B

C．綈p：

∃x0∈A,2x0∉B

D．綈p：

∀x∉A,2x∉B

（2）已知命题p：

∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≥0，则綈p是（　　）

A．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

B．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

C．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）＜0

D．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）＜0

（1）C

（2）C

对含有存在（全称）量词的命题进行否定需两步操作：

（1）将存在（全称）量词改写成全称（存在）量词；

（2）将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没有给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词。

已知命题p：

∃x0＞1，x

－1＞0，那么綈p是（　　）

A．∀x＞1，x2－1＞0　　　B．∀x＞1，x2－1≤0

C．∃x0＞1，x

－1≤0D．∃x0≤1，x

－1≤0

【解析】特称命题的否定为全称命题，所以綈p：

∀x＞1，x2－1≤0，故选B。

热点题型四由命题真假求参数的取值范围

例4、已知a＞0，设命题p：

函数y＝ax在R上单调递增；

不等式ax2－ax＋1＞0对∀x∈R恒成立。

若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围。

解决这类问题时，应先根据题目条件，即复合命题的真假情况，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况），然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围，最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围。

已知c＞0，命题p：

函数y＝cx在R上单调递减，q：

不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R，p∧q为假，p∨q为真，求c的取值范围。

【解析】函数y＝cx在R上单调递减⇔0＜c＜1。

不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1。

∵x＋|x－2c|＝

∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c。

不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R⇔2c＞1⇔c＞

。

如果p正确，且q不正确，则0＜c≤

；

如果p不正确，且q正确，则c≥1。

∴c的取值范围为

∪[1，＋∞）。

【高考风向标】

【2017山东，文5】已知命题p：

【解析】由

时

成立知p是真命题,由

可知q是假命题,所以

是真命题,故选B.

1.【2016高考四川文科】设p:

实数x，y满足

且

，q:

实数x，y满足

，则p是q的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

【答案】A

2.【2016高考天津文数】设

，

，则“

”是“

”的（）

（A）充要条件（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

【解析】

所以充分性不成立；

，必要性成立，故选C

3.【2016高考上海文科】设

”的（）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

，所以“

”的充分非必要条件，选A.

1.【2015高考浙江，文3】设

是实数，则“

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

2.【2015高考重庆，文2】“

（A）充要条件（B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件

【解析】由“

”显然能推出“

”，故条件是充分的，又由“

”可得

，所以条件也是必要的，故选A.

3.【2015高考天津，文4】设

则“

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

可知“

”的充分而不必要条件,故选A.

4.【2015高考四川，文4】设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的（）

（A）充要条件（B）充分不必要条件

【解析】a＞b＞1时，有log2a＞log2b＞0成立，反之当log2a＞log2b＞0成立时，a＞b＞1也正确.选A

5.【2015高考湖南，文3】设

R，则“

>

1”是“

1”的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

6.【2015高考安徽，文3】设p：

x<

3，q：

-1<

3，则p是q成立的（）

（A）充分必要条件（B）充分不必要条件

【解析】∵

∴

，但

，∴

是

成立的必要不充分条件，故选C.

1．（2014·

北京卷）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】D　

【解析】当ab<

0时，由a>

b不一定推出a2>

b2，反之也不成立．

2．（2014·

广东卷）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（　　）

A．充分必要条件

B．充分非必要条件

C．必要非充分条件

D．非充分非必要条件

【答案】A　

【解析】设R是三角形外切圆的半径，R＞0，由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB．故选A.∵sin≤AsinB，∴2RsinA≤2RsinB，∴a≤b.同理也可以由a≤b推出sinA≤sinB.

3．（2014·

新课标全国卷Ⅱ）函数f（x）在x＝x0处导数存在．若p：

f′（x0）＝0，q：

x＝x0是f（x）的极值点，则（　　）

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【答案】C　

4．（2014·

浙江卷）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；

反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为平行四边形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选A.

【高考冲刺】

1．设命题p：

函数y＝

在定义域上为减函数；

∃a，b∈（0，＋∞），当a＋b＝1时，

＋

＝3.以下说法正确的是（　　）

A．p∨q为真B．p∧q为真

C．p真q假D．p，q均假

【解析】函数y＝

分别在（－∞，0），（0，＋∞）上是减函数，在定义域{x|x≠0}上不具有单调性，∴命题

2．下列命题中正确的是（　　）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题

B．“sinα＝

”是“α＝

”的充分不必要条件

C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α

D．命题“∀x∈R,2x>

0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”

【解析】选项A中，命题“p∧q”为假命题；

选项B中，“sinα＝

”的必要不充分条件；

选项C中，直线l可能在平α内；

选项D正确．

3．命题p：

∀x∈[0，＋∞），（log32）x≤1，则（　　）

A．p是假命题，綈p：

∃x0∈[0，＋∞），（log32）x0>

1

B．p是假命题，綈p：

∀x∈[0，＋∞），（log32）x≥1

C．p是真