历年考研数学一真题(答案+解析).doc
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历年考研数学一真题1987-2017
(答案+解析)
(经典珍藏版)最近三年+回顾过去
最近三年篇(2015-2017)
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学
(一)试卷
一、选择题1—8小题.每小题4分,共32分.
1.设函数在上连续,其二阶导数的图形如右图所示,则曲线在的拐点个数为
(A)0(B)1(C)2(D)3
【详解】对于连续函数的曲线而言,拐点处的二阶导数等于零或者不存在.从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点,以及一个二阶导数不存在的点.但对于这三个点,左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的,所以对应的点不是拐点.而另外两个点的两侧二阶导数是异号的,对应的点才是拐点,所以应该选(C)
2.设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解,则
(A)(B)
(C)(D)
【详解】线性微分方程的特征方程为,由特解可知一定是特征方程的一个实根.如果不是特征方程的实根,则对应于的特解的形式应该为,其中应该是一个零次多项式,即常数,与条件不符,所以也是特征方程的另外一个实根,这样由韦达定理可得,同时是原来方程的一个解,代入可得应该选(A)
3.若级数条件收敛,则依次为级数的
(A)收敛点,收敛点(B)收敛点,发散点
(C)发散点,收敛点(D)发散点,发散点
【详解】注意条件级数条件收敛等价于幂级数在处条件收敛,也就是这个幂级数的收敛为,即,所以的收敛半径,绝对收敛域为,显然依次为收敛点、发散点,应该选(B)
4.设D是第一象限中由曲线与直线所围成的平面区域,函数在D上连续,则()
(A)(B)
(C) (D)
【详解】积分区域如图所示,化成极坐标方程:
也就是D:
所以,所以应该选(B).
5.设矩阵,若集合,则线性方程组有无穷多解的充分必要条件是
(A)(B)
(C)(D)
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:
方程组无穷解的充分必要条件是,也就是同时成立,当然应该选(D).
6.设二次型在正交变换下的标准形为,其中,若,则在下的标准形为
(A)(B)
(C)(D)
【详解】,
所以
故选择(A).
7.若为任意两个随机事件,则()
(A)(B)
(C)(D)
【详解】所以故选择(C).
8.设随机变量不相关,且,则()
(A)(B)(C)(D)
【详解】
故应该选择(D).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
9.
【详解】.
10..
【详解】只要注意为奇函数,在对称区间上积分为零,
所以
11.若函数是由方程确定,则.
【详解】设,则
且当时,,所以
也就得到
12.设是由平面和三个坐标面围成的空间区域,则
.
【详解】注意在积分区域内,三个变量具有轮换对称性,也就是
13.阶行列式.
【详解】按照第一行展开,得,有
由于,得.
14.设二维随机变量服从正态分布,则.
【详解】由于相关系数等于零,所以X,Y都服从正态分布,,且相互独立.
则.
三、解答题
15.(本题满分10分)设函数,在时为等价无穷小,求常数的取值.
【详解】当时,把函数展开到三阶的马克劳林公式,得
由于当时,是等价无穷小,则有,
解得,
16.(本题满分10分)
设函数在定义域上的导数大于零,若对任意的,曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求的表达式.
【详解】在点处的切线方程为
令,得
曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积为
整理,得,解方程,得,由于,得
所求曲线方程为
17.(本题满分10分)
设函数,曲线,求在曲线上的最大方向导数.
【详解】显然.
在处的梯度
在处的最大方向导数的方向就是梯度方向,最大值为梯度的模
所以此题转化为求函数在条件下的条件极值.用拉格朗日乘子法求解如下:
令
解方程组,得几个可能的极值点,
进行比较,可得,在点或处,方向导数取到最大,为
18.(本题满分10分)
(1)设函数都可导,利用导数定义证明;
(2)设函数都可导,,写出的求导公式.
【详解】
(1)证明:
设
由导数的定义和可导与连续的关系
(2)
19.(本题满分10分)
已知曲线L的方程为,起点为,终点为,计算曲线积分.
【详解】曲线L的参数方程为
起点对应,终点为对应.
20.(本题满分11分)
设向量组为向量空间的一组基,.
(1)证明:
向量组为向量空间的一组基;
(2)当为何值时,存在非零向量,使得在基和基下的坐标相同,并求出所有的非零向量
【详解】
(1),
因为,且显然线性无关,所以是线性无关的,当然是向量空间的一组基.
(2)设非零向量在两组基下的坐标都是,则由条件
可整理得:
,所以条件转化为线性方程组
存在非零解.
从而系数行列式应该等于零,也就是
由于显然线性无关,所以,也就是.
此时方程组化为,
由于线性无关,所以,通解为,其中为任意常数.
所以满足条件的其中为任意不为零的常数.
21.(本题满分11分)
设矩阵相似于矩阵.
(1)求的值;
(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵.
【详解】
(1)因为两个矩阵相似,所以有,.
也就是.
(2)由,得A,B的特征值都为
解方程组,得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为;
解方程组得矩阵A的属于特征值的线性无关的特征向量为
令,则
22.(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为
对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记为次数.
求的分布函数;
(1)求的概率分布;
(2)求数学期望
【详解】
(1)X进行独立重复的观测,得到观测值大于3的概率为
显然Y的可能取值为
且
(2)设
23.(本题满分11分)
设总体的概率密度为
其中为未知参数,是来自总体的简单样本.
(1)求参数的矩估计量;
(2)求参数的最大似然估计量.
【详解】
(1)总体的数学期望为
令,解得参数的矩估计量:
.
(2)似然函数为
显然是关于的单调递增函数,为了使似然函数达到最大,只要使尽可能大就可以,所以
参数的最大似然估计量为
2016年全国硕士研究生入学统一考试
数学
(一)试卷
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
(1)若反常积分收敛,则( )。
A.且
B.且
C.且
D.且
【答案】C
【解析】,而当时收敛,而此时不影响,,而当时收敛,此时不影响,因此选择C.
(2)已知函数,则的一个原函数是( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】对函数做不定积分可得原函数,,因此选择D.
(3)若是微分方程的两个解,则=( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】将代入微分方程可得:
而将代入微分方程可得:
将这两个式子相加可得:
两个式子相减可得:
因此可得
故选择A.
(4)已知函数,则( )。
A.是的第一类间断点
B.是的第二类间断点
C.在处连续但不可导
D.在处可导
【答案】D
【解析】,因此在处连续,
,而,而,因此
,而左右两边的极限均为1,因此,故在可导,选择D.
(5)设是可逆矩阵,且与相似,则下列结论错误的是( )。
A.与相似
B.与相似
C.与相似
D.与相似
【答案】C
【解析】因为与相似,因此存在可逆矩阵,使得,于是有:
,即,
,因此,
,因此,
而C选项中,不一定等于,故C不正确,选择C.
(6)设二次型,则在空间直角坐标系下表示的二次曲面为( )。
A.单叶双曲面
B.双叶双曲面
C.椭球面
D.柱面
【答案】B
【解析】二次型对应的矩阵,根据可以求得特征值为,,因此二次型的规范形为,故可得,即,因此对应的曲面为双叶双曲面,选择B.
(7)设随机变量,记,则( )。
A.随着的增加而增加
B.随着的增加而增加
C.随着的增加而减少
D.随着的增加而减少
【答案】B
【解析】,因此选择B,随着的增加而增加.
(8)随机试验有三种两两不相容的结果,且三种结果发生的概率均为,将试验独立重复做2次,表示2次试验中结果发生的次数,表示2次试验发生的次数,则于的相关系数为( )。
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】根据题意可知,因此有
,
因此可得,故可得相关系数为:
二、填空题,9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答疑纸指定位置上.
(9)________________.
【答案】
【解析】
(10)向量场的旋度________________.
【答案】
【解析】由旋度公式可得
(11)设函数可微,由方程确定,则________________.
【答案】
【解析】将两边分别关于求导可得:
,
。
将代入原式可得,因此将代入关于求导的式子可得:
,因此,代入关于求导的式子可得:
,因此有,故可得.
(12)设函数,且,则________________.
【答案】
【解析】根据,可得:
,然后求二阶导数为:
此时(存疑)
(13)行列式________________.
【答案】
【解析】.
(14)设为来自总体的简单随机样本,样本均值,参数的置信度为0.95的双侧知心区间的置信上限为10.8,则的置信度为0.95的双侧置信区间为________________.
【答案】
【解析】,
因为,所以,因此可得,故可得置信区间为.
三、解答题:
15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(15)(本题满分10分)
已知平面区域,计算二重积分.
【答案】
【解析】
(16)(本题满分10分)
设函数满足方程,其中.
(Ⅰ)证明:
反常积分收敛;
(Ⅱ)若,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)特征方程为,由可知,特征方程有两个不同的实根,即且,因此二阶常系数齐次线性方程的解为:
,故可得
因此收敛.
(Ⅱ)由,可得:
,解得
代入可得
(17)(本题满分10分)
设函数满足,且,是从点到点的光滑曲线,计算曲线积分,并求的最小值.
【答案】3
【解析】
根据可得:
又故可知,因此
所以,
设,则有
因此,因此积分与路径无关
故
因为,所以,令可得
而,因此,因此当有最小值为.
(18)(本题满分10分)
设有界区域由平面与三个坐标平面围成,为整个表面的外侧,计算曲面积分.
【答案】
【解析】
,令
由高斯公式可知:
(19)(本题满分10分)
已知函数可导,且.设数列满足,证明:
(Ⅰ)级数绝对收敛;
(Ⅱ)存在,且.
【答案】利用绝对收敛定义证明即可。
【解析】
(Ⅰ)证:
,因此有
显