届人教B版理科数学热点专题突破四 立体几何的综合问题单元测试Word文件下载.docx

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，C

，

F

，N

.

∴

=（0，2a，0），

=

-

a，-

a

设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），

则

令z=

，得n=（2，0，

），

∴cos<

n·

>

=-

∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为

2.[2016·

吉林实验中学四模]如图的多面体是直平行六面体ABCD-A1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE=∠GAD=45°

，AB=2AD=2，∠BAD=60°

BD⊥平面ADG；

（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.

（1）在△BAD中，∵AB=2AD=2，∠BAD=60°

∴由余弦定理可得BD=

，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD.

又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，∴GD⊥BD.

又AD∩GD=D，∴BD⊥平面ADG.

（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

∵∠BAE=∠GAD=45°

，AB=2AD=2，

则有A（1，0，0），B（0，

，0），G（0，0，1），E（0，

，2），C（-1，

，0），

=（-1，

，2），

=（-1，0，1）.

设平面AEFG的法向量为n=（x，y，z），

令x=1，得y=-

，z=1，n=

而平面ABCD的一个法向量为

=（0，0，1），

，n>

故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

3.如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，且点B在平面ACE上的射影F恰好落在边CE上.

AE⊥平面BCE；

（2）当二面角B-AC-E的余弦值为

时，求∠BAE的大小.

（1）∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BF⊥AE，

又∵四边形ABCD是边长为2的正方形，

∴BC⊥AB，

∵平面ABCD⊥平面ABE，且平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，

又∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE.

（2）以A为原点，垂直于平面ABCD的直线AG为x轴，AB所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，如图所示建立空间直角坐标系Axyz.

设E（a，b，0），则

=（a，b，0），

=（0，2，2），

=（a，b-2，0），

设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），∴

不妨令y=a，得n=（-b，a，-a）是平面EAC的一个法向量，

又∵平面BAC的一个法向量为m=（1，0，0），

∴|cos<

m，n>

|=

化简得a2=b2，①

又∵AE⊥平面BCE，BE⊂平面BCE，

∴AE⊥BE，∴

=0，即a2+b（b-2）=0，②

联立①②，解得b=0（舍去），或b=1，

∴a2=b2=1，此时易得AE=BE=

，∴∠BAE=

4.如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1.

A1B⊥AD；

（2）若AD=AB=2BC，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，∠A1AB=60°

，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.

（1）连接A1B，AB1相交于点O，连接DO.

∵侧面ABB1A1为菱形，

∴AB=AA1，又∠DAB=∠DAA1，AD=AD，

∴△DAA1≌△DAB，则BD=A1D，

∴OD⊥A1B，又A1B⊥AB1，AB1∩OD=O，

∴A1B⊥平面AOD，∴A1B⊥AD.

（2）分别以射线OB，射线OB1，射线OD为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示.

设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°

，可知|OB|=a，|OA|=|OB1|=

∴|OD|=

=a，从而A（0，-

a，0），B（a，0，0），B1（0，

a，0），D（0，0，a），

=（-a，

a，0）.

由

，可得C

设平面DCC1D1的法向量为m=（x0，y0，z0），

取y0=1，则x0=

，z0=3

∴m=（

，1，3

）.

又平面ABB1A1的一个法向量为

=（0，0，a），

，m>

故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为

5.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=

（1）证明：

平面ADE⊥平面ACD；

（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求二面角D-AE-B的余弦值.

（1）∵AB是直径，∴BC⊥AC，

∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，

∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD，

∵CD∥BE，CD=BE，∴四边形BCDE是平行四边形，

∴BC∥DE，∴DE⊥平面ACD，

∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD.

（2）依题意，CD=AB×

tan∠EAB=4×

=1，

由

（1）知V三棱锥C-ADE=V三棱锥E-ACD=

S△ACD·

DE=

AC·

CD·

BC≤

（AC2+BC2）=

AB2=

当且仅当AC=BC=2

时等号成立，此时三棱锥C-ADE体积最大.

如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（0，0，1），E（0，2

，1），A（2

，0，0），B（0，2

=（-2

，2

=（0，2

=（2

，0，-1），

设平面DAE的法向量为n1=（x1，y1，z1），则

即

令x1=1，∴n1=（1，0，2

设平面ABE的法向量为n2=（x2，y2，z2），

令x2=1，∴n2=（1，1，0），

n1，n2>

由图形可以判断二面角D-AE-B的平面角为钝角，

∴二面角D-AE-B的余弦值为-

6.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点.

DF⊥AE.

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

?

若存在，说明点D的位置；

若不存在，说明理由.

（1）∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，

∴AB⊥AE.

又∵AB⊥AA1，AE∩AA1=A，

∴AB⊥平面A1ACC1.

又∵AC⊂平面A1ACC1，

∴AB⊥AC.

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

则A（0，0，0），E

，F

，0

，A1（0，0，1），B1（1，0，1）.

设D（a，0，b），

=λ

，且λ∈[0，1]，即（a，0，b-1）=λ（1，0，0），∴D（λ，0，1）.

又

=0，

∴DF⊥AE.

（2）假设存在点D，设平面DEF的法向量为n=（x，y，z），

∵

令z=2（1-λ），∴n=（3，1+2λ，2（1-λ））.

由题可知平面ABC的一个法向量m=（0，0，1）.

∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为

∴λ=

或λ=

（舍去），

∴当点D为A1B1中点时，满足要求.

7.[2017·

吉林镇赉一中一模]如图，在五边形GABCD中，AG=

，且四边形ABCD是矩形，AB=

，AD=1，E是AB的中点，DE与AC交于点F，将△GAD沿AD折叠到△G'

AD的位置，点G'

在平面ABCD的射影恰为点F.

AC⊥平面DEG'

；

（2）求二面角A-EG'

-D的大小.

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴△AEF∽△CDF，

在矩形ABCD中，AB=

，AD=1，

∴AE=

，AC=

在Rt△DEA中，DE=

DF=

，AF=

AC=

∴AF2+DF2=AD2，

∴∠AFD=90°

，即AC⊥DE.

或由tan∠BAC=

，tan∠AED=

=tan（90°

-∠BAC），得∠BAC+∠AED=90°

，从而∠AFD=90°

，即AC⊥DE

又∵G'

F⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AC⊥G'

F.

∵DE∩G'

F=F，

∴AC⊥平面DEG'

（2）在Rt△AG'

F中，AG'

由勾股定理可得G'

F=

由

（1）得AC，DE，G'

F两两垂直，以点F为坐标原点，FA，FE，FG'

所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Fxyz，如图所示.

，G'

，E

AG

设n1=（x1，y1，z1）是平面AEG'

的法向量，

令x1=

，∴n1=（

，2，

由

（1）知平面DEG'

的一个法向量n2=

由图可知，二面角A-EG'

-D的平面角为锐角，

故二面角A-EG'

-D的大小为60°