届人教B版理科数学热点专题突破四 立体几何的综合问题单元测试Word文件下载.docx
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,C
,
F
,N
.
∴
=(0,2a,0),
=
-
a,-
a
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=
,得n=(2,0,
),
∴cos<
n·
>
=-
∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为
2.[2016·
吉林实验中学四模]如图的多面体是直平行六面体ABCD-A1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形,其中∠BAE=∠GAD=45°
,AB=2AD=2,∠BAD=60°
BD⊥平面ADG;
(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
(1)在△BAD中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°
∴由余弦定理可得BD=
,∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.
又在直平行六面体中,GD⊥平面ABCD,
又BD⊂平面ABCD,∴GD⊥BD.
又AD∩GD=D,∴BD⊥平面ADG.
(2)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∵∠BAE=∠GAD=45°
,AB=2AD=2,
则有A(1,0,0),B(0,
,0),G(0,0,1),E(0,
,2),C(-1,
,0),
=(-1,
,2),
=(-1,0,1).
设平面AEFG的法向量为n=(x,y,z),
令x=1,得y=-
,z=1,n=
而平面ABCD的一个法向量为
=(0,0,1),
,n>
故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为
3.如图,平面ABCD⊥平面ABE,四边形ABCD是边长为2的正方形,且点B在平面ACE上的射影F恰好落在边CE上.
AE⊥平面BCE;
(2)当二面角B-AC-E的余弦值为
时,求∠BAE的大小.
(1)∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴BF⊥AE,
又∵四边形ABCD是边长为2的正方形,
∴BC⊥AB,
∵平面ABCD⊥平面ABE,且平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊂平面ABCD,
∴BC⊥平面ABE,∴BC⊥AE,
又∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE.
(2)以A为原点,垂直于平面ABCD的直线AG为x轴,AB所在直线为y轴,AD所在直线为z轴,如图所示建立空间直角坐标系Axyz.
设E(a,b,0),则
=(a,b,0),
=(0,2,2),
=(a,b-2,0),
设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),∴
不妨令y=a,得n=(-b,a,-a)是平面EAC的一个法向量,
又∵平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0),
∴|cos<
m,n>
|=
化简得a2=b2,①
又∵AE⊥平面BCE,BE⊂平面BCE,
∴AE⊥BE,∴
=0,即a2+b(b-2)=0,②
联立①②,解得b=0(舍去),或b=1,
∴a2=b2=1,此时易得AE=BE=
,∴∠BAE=
4.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,侧面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1.
A1B⊥AD;
(2)若AD=AB=2BC,点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,∠A1AB=60°
,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.
(1)连接A1B,AB1相交于点O,连接DO.
∵侧面ABB1A1为菱形,
∴AB=AA1,又∠DAB=∠DAA1,AD=AD,
∴△DAA1≌△DAB,则BD=A1D,
∴OD⊥A1B,又A1B⊥AB1,AB1∩OD=O,
∴A1B⊥平面AOD,∴A1B⊥AD.
(2)分别以射线OB,射线OB1,射线OD为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.
设AD=AB=2BC=2a,由∠A1AB=60°
,可知|OB|=a,|OA|=|OB1|=
∴|OD|=
=a,从而A(0,-
a,0),B(a,0,0),B1(0,
a,0),D(0,0,a),
=(-a,
a,0).
由
,可得C
设平面DCC1D1的法向量为m=(x0,y0,z0),
取y0=1,则x0=
,z0=3
∴m=(
,1,3
).
又平面ABB1A1的一个法向量为
=(0,0,a),
,m>
故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为
5.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=
(1)证明:
平面ADE⊥平面ACD;
(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值.
(1)∵AB是直径,∴BC⊥AC,
∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC,
∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD,
∵CD∥BE,CD=BE,∴四边形BCDE是平行四边形,
∴BC∥DE,∴DE⊥平面ACD,
∵DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.
(2)依题意,CD=AB×
tan∠EAB=4×
=1,
由
(1)知V三棱锥C-ADE=V三棱锥E-ACD=
S△ACD·
DE=
AC·
CD·
BC≤
(AC2+BC2)=
AB2=
当且仅当AC=BC=2
时等号成立,此时三棱锥C-ADE体积最大.
如图所示,建立空间直角坐标系Cxyz,则D(0,0,1),E(0,2
,1),A(2
,0,0),B(0,2
=(-2
,2
=(0,2
=(2
,0,-1),
设平面DAE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
即
令x1=1,∴n1=(1,0,2
设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2),
令x2=1,∴n2=(1,1,0),
n1,n2>
由图形可以判断二面角D-AE-B的平面角为钝角,
∴二面角D-AE-B的余弦值为-
6.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,D为棱A1B1上的点.
DF⊥AE.
(2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为
?
若存在,说明点D的位置;
若不存在,说明理由.
(1)∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,
∴AB⊥AE.
又∵AB⊥AA1,AE∩AA1=A,
∴AB⊥平面A1ACC1.
又∵AC⊂平面A1ACC1,
∴AB⊥AC.
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
则A(0,0,0),E
,F
,0
,A1(0,0,1),B1(1,0,1).
设D(a,0,b),
=λ
,且λ∈[0,1],即(a,0,b-1)=λ(1,0,0),∴D(λ,0,1).
又
=0,
∴DF⊥AE.
(2)假设存在点D,设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),
∵
令z=2(1-λ),∴n=(3,1+2λ,2(1-λ)).
由题可知平面ABC的一个法向量m=(0,0,1).
∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为
∴λ=
或λ=
(舍去),
∴当点D为A1B1中点时,满足要求.
7.[2017·
吉林镇赉一中一模]如图,在五边形GABCD中,AG=
,且四边形ABCD是矩形,AB=
,AD=1,E是AB的中点,DE与AC交于点F,将△GAD沿AD折叠到△G'
AD的位置,点G'
在平面ABCD的射影恰为点F.
AC⊥平面DEG'
;
(2)求二面角A-EG'
-D的大小.
(1)∵四边形ABCD为矩形,
∴△AEF∽△CDF,
在矩形ABCD中,AB=
,AD=1,
∴AE=
,AC=
在Rt△DEA中,DE=
DF=
,AF=
AC=
∴AF2+DF2=AD2,
∴∠AFD=90°
,即AC⊥DE.
或由tan∠BAC=
,tan∠AED=
=tan(90°
-∠BAC),得∠BAC+∠AED=90°
,从而∠AFD=90°
,即AC⊥DE
又∵G'
F⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥G'
F.
∵DE∩G'
F=F,
∴AC⊥平面DEG'
(2)在Rt△AG'
F中,AG'
由勾股定理可得G'
F=
由
(1)得AC,DE,G'
F两两垂直,以点F为坐标原点,FA,FE,FG'
所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Fxyz,如图所示.
,G'
,E
AG
设n1=(x1,y1,z1)是平面AEG'
的法向量,
令x1=
,∴n1=(
,2,
由
(1)知平面DEG'
的一个法向量n2=
由图可知,二面角A-EG'
-D的平面角为锐角,
故二面角A-EG'
-D的大小为60°