导数大题经典练习及答案文档格式.docx
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（i）若曲线yf（x）在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；
（n）求f（x）的单调区间;
g（x）x2x，若对任意X!
（0,2］，均存在X2（0,2］，使得f（xjg（X2），求a的取值范围
5、已知函数fxalnx2（a0）
（I）若曲线y=f（x）在点P（1,f
（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间;
（n）若对于任意x0,都有fx2（a1）成立，试求a的取值范围;
（川）记g（x）=f（x）+x-b（b€R）.当a=1时，函数g（x）在区间e,e上有两个零点，求实数b的取值范围
6、已知函数f（x）
1Inx
（1）若函数在区间（a,a
）（其中a0）上存在极值，求实数
a的取值范围;
⑵如果当x1时，不等式f（x）
恒成立，求实数
k的取值范围.
1.解：
（I）对一切x（0,）,f（x）g（x）恒成立，即xlnx
ax
x2恒成立.也就是alnxx
x（0,）恒成立；
令F（x）
lnxx2
，则F（x）11
2xx2（x2）（x1）
~22,
xxx
在（0,1）上F（x）0,在（1,
）上F（x）
0,因此,
F（x）在x
1处取极小值，也是最小值,
即Fmin（x）F
（1）3，所以a
3.
（n）当a1时，f（x）xlnx
x,f（x）
Inx2,
由f（x）
①当0m—时，在x[m，2）上f（x）
ee
（A，m
e
3]上f（x）
因此，f（x）在x2处取得极小值，也是最小值
fmin（x）
由于f（m）0,f（m3）
（m3）[ln（m3）1]
0因此,
max（x）
f（m
3）（m3）[ln（m3）
1]
②当m时，f'
（x）
0,因此f（x）在[m,m
3］上单调递增，所以
fmin（x）f（m）
m（lnm1），
fmax（x）f（m3）（m
3）[ln（m
3）1]……9分
问题等价于证明
xlnxx
x2
-（x（0,））
由（n）知a
1时，f（x）
xlnxx的最小值是
设G（x）
2（x（0,
1x
）），则G（x）r
但-2
2、解:
1.
—，当且仅当x—时取得,e-
，易知
Gmax（X）G
（1）
—,当且仅当
x1时取到,
从而可知对一切x（0,），都有lnx1e
2、
成立•
ex
（I）直线y=x+2的斜率为1•函数f（x）的定义域为（0,
+m）
，因为
f'
-，所以
x2亠
2•由f'
（x）x
0,2）
2a
121
1，所以a=1所以f（x）-lnx2.f'
解得0vxv2.所以f（x）的单调增区间是（2,+s），单调减区间是（
（1）
0解得x>
0；
由f'
（x）0
（n）f'
（2
a
）上单调递增，在区间
ax22
2，由f'
（x）0解得x—;
由f'
（x）0解得0
xa
22
（0,—）上单调递减.所以当x—时，函数
aa
x—.所以f（x）在区间a
（0,）都有f（x）
2（a1）成立,
所以
f
（2）2（a1）即可.
则2aln?
22（a1）.由aln-a解得0
2aa
f（x）取得最小值,
ymin
（■2）.因为对
a?
.所以a的取值范围是（0,二）.
（川）依题得g（x）lnxx
x2x2
x2b，则g'
（x）2.由g'
（x）0解得x>
1；
由g'
（x）0解得0vx
V1•所以函数g（x）在区间（0,
1）为减函数,
在区间（1,+8）为增函数.又因为函数g（x）在区间［e一1,e］上有
g（e1）0
两个零点，所以g（e）0.解得1b
eg
（1）0
e1.所以b的取值范围是（1,e1］.e
3•解：
（I）f（x）的定义域为（0,+8）
②当a>
0时,
因为f'
（x）—2x0,所以f（x）在［1,e］上是增函数,
当x=1时，f（x）取得最小值f
（1）=1.所以f（x）在［1,e］上的最小值为1.
2x22ax11
2（xa）设g（x）=2x2—2ax+1,依题意，在区间［㊁，2］上存在子区间
当0x
a2
2或x
a、a2
时，h（x）>
0,这时f
'
（x）>
0；
所以，当
.2时,
、a22
aVO2~2
是函数f（x）的极大值点；
x是函数f（x）的极小值点
综上，当
、2时,
函数f（x）没有极值点；
2时,
，a2
，亠a
a22
当a
x一
是函数
f（x）的极大值点；
是函数f（x）的极小值点.
4•解：
f（x）ax（2a1）（x0）.（i）f
（1）f（3），解得a.
x3
（ax1）（x2）/
（n）f（x）（x0）.
①当a0时，x0,ax10,在区间（0,2）上，f（x）0；
在区间（2,）上f（x）0,
故f（x）的单调递增区间是（0,2），单调递减区间是（2,）.
111
②当0a时，2，在区间（0,2）和（一
2，在区间（0,—）和（2,）上，f（x）0；
在区间
11
故f（x）的单调递增区间是（0,—）和（2,），单调递减区间是（一，2）.
（川）由已知，在（0,2］上有f（x）maxg（X）max・由已知，g（x）max0,由（n）可知，
①当a时，f（x）在（0,2］上单调递增，故f（x）maxf
（2）2a2（2a1）2ln22a22ln2,
所以，2a22ln20,解得aIn21，故In21a.
综上所述，aIn21.
5、解:
（I）直线y=x+2的斜率为1,函数f（x）的定义域为0,因为f'
2~x
所以a=1，所以fxInx2,fx
0解得
x>
2
由fx0解得0vxv2所以f（x）得单调增区间是
单调减区间是
0,2
（x）—
所以f（x）在区间（2,
x-时，
（n）f
所以当
因为对于任意x
ax2'
2，由fx
0解得x;
由f
x0解得0
函数f（x）取得最小值ymin
（0,—）上单调递减
f（-）
0,都有fx2（a1）成立，所以
f
（2）
2（a
1）即可
1），由aIn—a解得0
a得取值范围是
（0,-）
（川）依题意得g（x）
Inx
b，则
g（x）
—
x0解得
1,
0vxv1
所以函数g（x）在区间e1,e上有两个零点,
g（e）0
g（e）0g
（1）0
b得取值范围是
6、解：
（1）因为f（x）
（1,2e
则f（x）
~—,
当0x1时，f（x）
0;
当x
1时,
•-f（x）在（0,1）上单调递增；
在（1,）上单调递减,
•••函数
（2）不等式f（x）
上，即为（x1）（1Inx）k
x1'
记g（x）（X1）（1Inx）•g（x）
[（x1）（1Inx）]x（x1）（1Inx）
1,•h'
（x）0,•h（x）在[1,）上递增,
令h（x）xInx，则h'
（x）1-
•••[h（X）]minh
（1）10,从而g（X）0,故g（X）在[1,）上也单调递增,
•••[g（X）]ming
（1）2,•••k2•
1,
11,
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