初等数论完整资料整合Word文档格式.docx
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又因为(9,10)=1
所以90|2S即45|S
从而1+2+3+….+9|1k+2k+3k+-+9k
4、证明某种类型的质数有无穷多个
例:
证明4n+1形的质数的个数为无穷。
(最后一节课讲的)
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第三章同余
考点:
1、同余的性质;
(应用在同余解题中)P48
2、简化剩余系和欧拉函数;
(求简化剩余系的个数)P58
3、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用;
(利用欧拉定理解题;
判断是纯循环还是混循环,若是混循环,从第几位开始)P61
具体分析:
一、同余的性质
1、a三a(modm)
2、若a三b(modm),贝Ub三a(modm)
3、若a三b(modm)b三c(modm)贝Ua三c(modm)
4、i.若ai三bi(modm)a2三b2(modm)贝Sai+a2三bi+b2(modm)
ii.a+b三c(modm)贝Ua三c-b(modm)
5、ai=bi(modm)a2三b2(modm)贝Ua侶2三bib?
(modm)
特别的,若a三b(modm)贝Sak三bk(modm)
6、若a三b(modm)且a=aidb=bid(d,m)=1贝Sai三bi(modm)
7、i.若a三b(modm)k>
0贝Uak三bk(modmk
ii.若a三b(modm)d为a,b及m的任一正公因数,
贝卩a/d三b/d(modm/d)
8、若a三b(modm)i=1、2…k则a三b(modmm…m)例:
一个小于4000的四位数,被3、4、5、7、9除皆余2,求这个数。
设这个数为x,贝由题意得:
x三2(mod3)x三2(mod4)x三2(mod5)
x三2(mod7)x三2(mod9)
则x三2(mod3、4、5、7、9)
即x三2(mod1260)
•••x=1260t+2
•/x<
4000
•x=i260t+2(t=i、2、3)
x=i262、2526、3782
9、若a=b(modm),d|m,d>
0,贝Ua三b(modd)
10、若a三b(modm),则(a,m)=(b,m).从而d能整除m和a、b中的一个,必能整除a、b中的另一个。
二、简化剩余系和欧拉函数
满足简化剩余系的条件:
1、©
(m)个
2、两两对模m不同余
3、每一个模与模m互质
其中利用欧拉函数计算简化剩余系的个数:
1、当m为质数时:
©
(m)=m-1
2、m为合数时:
(m)等于0、1、2…m-1中与m互质的数的个数。
三、欧拉定理与费马定理对循环小数的应用
欧拉定理:
设m>
1,mEZ,(a,m)=1,则有a"
(m)三1(modm)
例1、
同类型题见教材P64习题第1题。
例2、3729的个位数是几?
第一种方法:
运用同余的性质
3土9三729三(72)14*7三(-1)14*7三7(mod10)
或三(-3)29三-329三-(32)14*3三-(-1)14*3三-3三7(mod
10)
第二种方法:
运用欧拉定理
•••(37,10)=1
...37°
(10)三374三1(mod10)且29=4q+1q=7
二3729三(344)q*37三1q*37三37三7(mod10)
费马定理:
若p为素数(质数),则才三a(modm)
1、有理数a/b(0<
a<
b)是有限小数的判别条件为,其分母只含2的因子或5的因子或2和5的因子。
2、无限小数:
①纯循环:
(从小数点后第一位开始循环)分母不含2
和5中任何一个因子,即分母与10互质。
②混循环:
分母除了2、5外还有其他因子,从2、5
中指数大的那个之后开始循环。
67/60
60=22*51*q(q€Z)
则从第二位之后开始循环,即从第三位之后开始循环
第四章同余式
一次同余式P74
孙子定理P76
高次同余式P80
质数模的同余式P84
同余式的概念:
若用f(x)表示多项式anx"
+an-ix"
1+…+a。
其中a是整数,设m是一个正整数
f(x)三O(modm),表示模m的同余式P74
一次同余式:
ax三b(modm),a不同余m
注:
有解的充分与必要条件是(a,m)|b即ax-my=b有解,且有解时d=(a,m)个解
一次同余式解的过程:
ax/d三bx/d(modm/d)
ax/d-my/d=b/d即x=x0+mt/d,y=y0+at/d
二原同余式的解为x三xo+mk/d(modr)
例题14x三10(mod6
1°
首先判断有无解d=(4,6)=2,2|10,有解
2°
化简为2x三5(mod3,2x-3y=5
3°
找一组特解x0=1,y0=-1即x=1+3t,t=0,+-1...
二原方程的解为x三1+3t(mod6,t=0,1(取t=0,1…d-1)即x三
1,4(mod6
例题2(完整格式)3x三2(mod4
•••(3,4)=1,1|2•••原方程有一个解
将3x三2(mod4转化为3x-4y=2,解得x=2+4t,t=0,+-1
二原方程的解为X2(mod4
课后习题:
第一题P75答案自行XX
孙子定理
x三b(modrr)mi(i=1,...k)两两互质
x三b2(modmm=(mi,...mJ,m=mM
x=bk(modm
Mi=m...mk,Mi'
M」1(modm)
例题x三2(mod3)
x三3(mod4
x三4(mod5
解:
m
bi
M
M'
答数
3
2
3x4x5=60
20
?
2?
?
1
4
15
5
12
二原同余式组的解为x三59(mod60
第一题P79
高次同余式
定理1若m,m2,...,mk是k个两两互质的正整数,m=nm…mk,则同余式
f(x)三0(modr)
(1)
与同余式组
f(x)三0(modin),i=1,2...k
(2)
有相同的解,且若用T表示f(x)三0(modn)(i=1...k)的解数,则
(1)的解数T=TT2…Tk
例1x2+3x+2三0(mod12解:
原方程等价于x2+3x+2三0(mod3
(1)
2+3x+2三0(mod4
(2)
解
(1)得x三1,2(mod3
(2)得x三2,3(mod4
故同余式f(x)有2X2=4个解
x三bi(mod3,bi=1,2
x三b2(mod4,b2=2,3
由孙子定理
x=
4b1+9b2(mod12)
二方程的解为x三4bi+9b(mod12
将其代入,从而2,7,10,11(modi?
定理2f(xj+ptf'
(xj=0(mod|2)(由泰勒公式推导)
例2x4+7x+4三0(mod27
先解x4+7x+4三0(mod3
将x三1(mod3即x=1+3t1,t1=0,-+1
将x=1+3t1代入x4+7x+4三0(mod9
得:
f
(1)+3t1f'
(1)三0(mod9即:
12+3t1.11三0(mod94+11怡三0(mod3,得t1=1+3t2,t2=0,+-1...
又将11=1+3t2代入x=1+3t1,得4+9t2,t2=0,+-1…
又将x=4+9t2代入f'
(x)三0(mod27得
f(4)+f'
(4)9t2三0(mod27即288+263.9t2三0(mod27
32+263t2三0(mod3即2t2-1三0(mod3,解得:
12=2(mod3即