高中数学北师大版选修23同步导学案311 回归分析 12 相关系数 13 可线性化的回归分析文档格式.docx
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3．相关性的分类
（1）当r>
0时，两个变量正相关；
（2）当r<
0时，两个变量负相关；
（3）当r＝0时，两个变量线性不相关．
判断（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）两个变量的相关系数r＞0，则两个变量正相关．（ ）
（2）两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．（ ）
（3）若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负．（ ）
【答案】
（1）√
（2）×
（3）√
教材整理3 可线性化的回归分析
阅读教材P79～P82，完成下列问题．
1．非线性回归分析
对不具有线性相关关系的两个变量做统计分析，通过变量代换，转化为线性回归模型．
2．非线性回归方程
曲线
方程
曲线图形
变换
公式
变换后的
线性函数
y＝axb
（a＝1，b＞0）（a＝1，b＜0）
c＝lna
v＝lnx
u＝lny
u＝c＋bv
y＝aebx
（a＞0，b＞0）（a＞0，b＜0）
u＝c＋bx
y＝ae
v＝
y＝a＋
blnx
（b＞0） （b＜0）
u＝y
u＝a＋bv
下列数据x，y符合哪一种函数模型（ ）
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
2.69
3.38
3.6
3.8
4.08
4.2
4.3
A.y＝2＋
x B．y＝2ex
C．y＝2e
D．y＝2＋lnx
【解析】 分别将x的值代入解析式判断知满足y＝2＋lnx.
【答案】 D
[质疑·
手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
[小组合作型]
变量间的相关关系及判定
（1）对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1,2，…，10），得散点图311①，对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1,2，…，10），得散点图②.由这两个散点图可以判断（ ）
图311
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
（2）（2016·
上饶高二检测）两个变量x，y与其线性相关系数r有下列说法：
①若r＞0，则x增大时，y也随之相应增大；
②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；
③若r＝1或r＝－1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上，其中正确的有（ ）
A．①② B．②③
C．①③D．①②③
（3）有五组变量：
①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；
②平均日学习时间和平均学习成绩；
③某人每日吸烟量和其身体健康情况；
④正方形的边长和面积；
⑤汽车的重量和百公里耗油量．其中两个变量成正相关的是
（ ）
A．①③B．②④
C．②⑤D．④⑤
【精彩点拨】 可借助于线性相关概念及性质作出判断．
【自主解答】
（1）由这两个散点图可以判断，变量x与y负相关，u与v正相关，故选C.
（2）根据两个变量的相关性与其相关系数r之间的关系知，①③正确，②错误，故选C.
（3）其中①③成负相关关系，②⑤成正相关关系，④成函数关系，故选C.
【答案】
（1）C
（2）C （3）C
1．线性相关系数是从数值上来判断变量间的线性相关程度，是定量的方法．与散点图相比较，线性相关系数要精细得多，需要注意的是线性相关系数r的绝对值小，只是说明线性相关程度低，但不一定不相关，可能是非线性相关．
2．利用相关系数r来检验线性相关显著性水平时，通常与0.75作比较，若r>
0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．
[再练一题]
1．下列两变量中具有相关关系的是（ ）
【62690052】
A．正方体的体积与边长
B．人的身高与体重
C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
D．球的半径与体积
【解析】 选项A中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；
选项C中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系；
选项D中球的体积是
π与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有选项B中人的身高与体重具有相关关系．
【答案】 B
求线性回归方程
（2016·
九江高二检测）某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（℃）
17
13
月销售量y（件）
24
33
40
55
（1）算出线性回归方程y＝bx＋a.（a，b精确到0.1）
（2）气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣的销售量．
【精彩点拨】
（1）可利用公式求解；
（2）把月平均气温代入回归方程求解．
【自主解答】
（1）由散点图易判断y与x具有线性相关关系．
＝（17＋13＋8＋2）÷
4＝10，
＝（24＋33＋40＋55）÷
4＝38，
xiyi＝17×
24＋13×
33＋8×
40＋2×
55＝1267，
＝526，
≈－2.01，
a＝
≈38－（－2.01）×
10＝58.1，
所以线性回归方程为y＝－2.0x＋58.1.
（2）气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量为y＝－2.0x＋58.1＝－2.0×
6＋58.1≈46（件）．
1．回归分析是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，因此，在作回归分析时，要先判断这两个变量是否相关，利用散点图可直观地判断两个变量是否相关．
2．利用回归直线，我们可以进行预测．若回归直线方程y＝a＋bx，则x＝x0处的估计值为y0＝a＋bx0.
3．线性回归方程中的截距a和斜率b都是通过样本估计而得到的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差，所以由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值．
4．回归直线必过样本点的中心点．
2．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
12
（1）请画出上表数据的散点图（要求：
点要描粗）；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
【解】
（1）如图：
（2）
xiyi＝6×
2＋8×
3＋10×
5＋12×
6＝158，
＝9，
＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝0.7，
＝4－0.7×
9＝－2.3，
故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.
（3）由
（2）中线性回归方程得当x＝9时，y＝0.7×
9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
[探究共研型]
可线性化的回归分析
探究1 如何解答非线性回归问题？
【提示】 非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：
探究2 已知x和y之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？
5.99
12.01
①y＝3×
2x－1;
②y＝log2x；
③y＝4x;
④y＝x2.
【提示】 观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y＝3×
2x－1附近．所以模拟效果最好的为①.
某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x（cm）
60
70
80
90
100
110
体重y（kg）
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
120
130
140
150
160
170
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
（1）试建立y与x之间的回归方程；
（2）如果一名在校男生身高为168cm，预测他的体重约为多少？
【精彩点拨】 先由散点图确定相应的拟合模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解．
【自主解答】
（1）根据表中的数据画出散点图，如下：
由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，列表如下：
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
作出散点图，如下：
由表中数据可求得z与x之间的回归直线方程为
＝0.693＋0.020x，则有y＝e0.693＋0.020x.
（2）由
（1）知，当x＝168时，y＝e0.693＋0.020×
168≈57.57，所以在校男生身高为168cm，预测他的体重约为57.57kg.
两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如y＝c1ec2x，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z＝lny，则变换后样本点应该分布在直线z＝bx＋aa＝lnc1，b＝c2的周围.
3．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数据如下表：
0.25
0.5
16
试建立y与x之间的回归方程．
【解】 作出变量y与x之间的散点图如图所示．
由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．
设y＝
，令t＝
，则y＝kt.由y与x的数据表可得y与t的数据表：
t
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