二重积分的计算及应用研究报告.docx

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二重积分的计算及应用研究报告

学号

14051103

学年论文

论文题目：

二重积分的计算与应用研究

院〔系〕名称：

信息工程学院

专业名称：

数学与应用数学专业

学生姓名：

丁乾龙

指导教师：

王君〔讲师〕

学院

2017年9月

学号

14051103

密级

公开

二重积分的计算与应用研究

DoubleIntegralCalculationandItsApplication

学生：

丁乾龙

所在学院：

信息工程学院

所在专业：

数学与应用数学

指导教师：

王君

职称：

讲师

所在单位：

学院

论文提交日期：

2017年08月25日

论文辩论日期：

学位授予单位：

摘要

二重积分在现实中有着广泛的应用，二重积分可用于求解空间立体体积和曲面面积。

在物理力学中，二重积分也有着不可代替的作用。

本文给出二重积分的概念及根本性质，在此根底上总结了二重积分的七种比拟常见的计算方法与计算技巧：

利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利用轮换法计算、利用二重积分的几何意义计算，还研究了一些二重积分在物理力学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题。

关键词：

二重积分；计算方法；计算技巧

ABSTRACT

Thedoubleintegraliswidelyusedinpractice,thedoubleintegralcanbeusedtosolvethethree-dimensionalvolumeandsurfacearea.Inmechanics,thedoubleintegralalsohasanirreplaceablerole.

Thispapergivestheconceptandnatureofthedoubleintegral,onthebasisofsummingupthesevenmoncalculationmethodofdoubleintegralandcalculationskills:

usingdirectcoordinatesystemtocalculate,usingvariablereplacementmethodtocalculate,usingthepolarcoordinatetocalculate,usingfunctionandregionalsymmetrytocalculate,usingtheparityofgreenformulatocalculate,usingthemethodofrotationtocalculate,usingthegeometricmeaningofdoubleintegraltocalculate,alsostudiesonsomepracticalproblemsaboutthedoubleintegralsuchasphysicalmechanics,calculationofthree-dimensionalvolume,surfaceareacalculation,thecalculationofcurvilinearintegralandsurfaceintegral.

Keywords:

doubleintegral；putationalmethods；putationalskills；

前言

二重积分是?

数学分析?

中的重要容，它上承接着定积分，下引出三重积分和曲线积分、曲面积分.它在几何、物理、经济学等多个科学都有极其广泛的应用.函数的二重积分是?

数学分析?

中的重要容，它涉及到多个科学领域，并起着至关重要的作用.然而在计算函数二重积分的过程中，由于计算和函数比拟繁琐，因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限.计算机的广泛应用，特别是MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为二重积分的开展和应用开辟了广阔的前景.然而计算函数二重积分往往比拟复杂和繁琐，因此，研究二重积分的计算不仅很有必要，而且不断寻找简便的算法仍然是二重积计算方面的重要课题.

第1章绪论

1.1选题背景

对于二重积分的应用主要表达在求曲线积分，曲面积分，曲面面积和物理学中的一些平面薄板的重心坐标，转动惯量以及对质点的引力等问题，利用二重积分可以巧妙解决这些问题，因此二重积分的计算与应用在物理学当中，尤其是在数学分析里是一门不可缺少的重要知识。

1.2选题意义

二重积分的计算和应用研究在高等数学研究中具有重要意义，对于二重积分的研究不仅仅表达在理论上，与其相关的几何模型和物理模型也在被讨论研究.二重积分的研究虽然以前也有不少人研究过，但多数人只是理论上研究，在实际应用中的研究还比拟少，比方在求物体的重心，以及引力等，甚至经济学中方面相关深入的研究比拟狭窄[4].

在有些应用当中，我们会遇到一些二重积分根本运算问题，即在给定的被积函数和积分区域比拟特殊时，计算二重积分，此时计算量就会很大.因此，不断寻找简便的算法便成为二重积分运算方面的重要课题。

1.3研究现状

采用层进式教学法可以由浅入深的让学生轻松掌握这种积分的算法.是高等数学的重点，也是难点，计算较为繁琐，有的二重积分需要一定的技巧才能求出，二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积分，进而要利用两次定积分计算此二重积分，但是某些二重积分化为二次积分后计算仍相当困难，这时，我们就要采用特殊的算法计算。

文献[1]介绍了二重积分的开展及其相关应用；[2]~[15]主要介绍了二重积分的一些计算方法和相关性质定理；[16]~[26]主要介绍了一些二重积分在力学方面的一些应用.兆顺探究了直角坐标系下二重积分的计算；毅探究了利用变量替换与极坐标系下二重积分的计算；娟探究了利用函数的奇偶性和积分区域的对称性简化二重积分的计算；赫探究了利用格林公式来计算二重积分，本文在此根底上还探究了一下利用轮换法，格林公式，二重积分的几何意义来计算一些特殊的二重积分[9]~[13].

1.4选题意义

通过查看图书与学校电子阅览室里的有关二重积分计算的资料，最终分析决定主要研究以下几个方面：

〔1〕二重积分的根本计算方法；

〔2〕二重积分的特殊计算方法；

〔3〕二重积分的应用.

根据被积函数和积分区域的不同特征熟练采用不同的计算方法求二重积分.上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用.总之，在二重积分计算过程中要充分运用被积函数和积分区域的特征寻求最正确计算方法，这对于知识的在联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高。

本课题最终将到达的目标：

根据被积函数和积分区域的特点选择简便的计算方法；利用二重积分的一些性质来解决实际问题。

第2章二重积分的根本计算方法

2.1二重积分的定义与性质

设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，假设对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度<时，属于的所有积分和都有

，〔1〕

那么称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作

，

其中称为二重积分的被积函数，，称为积分变量，称为积分区域.

当时，二重积分在几何上就表示以为曲顶，为底的曲顶柱体的体积.当时，二重积分的值就等于积分区域的面积.

由二重积分定义知道，假设在区域上可积，那么与定积分情况一样，对任何分割，只要当时，〔1〕式都成立.因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割，那么每一小网眼区域的面积.

此时通常把记作.

二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：

性质1假设在区域上可积，为常数，那么在上也可积，且

.

性质2假设在上都可积，那么在上也可积，且

.

性质3假设在和上都可积，且与无公共点，那么在上也可积，且

.

性质4假设在上可积，且，那么

.

性质5假设在上可积，那么函数在上也可积，且

.

性质6假设在上可积，且，那么

这里是积分区域的面积.

性质7（中值定理）假设在有界闭区域上连续，那么存在，使得

这里是积分区域的面积.

中值定理的几何意义是以为底，为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在区域中某点的函数值.

2.2利用直角坐标系计算二重积分

定理1设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，那么累次积分也存在，且

.

定理2设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，那么累次积分也存在，且

.

定理3设有界闭区域是由两条交合曲线与，且，以及直线与所围成，假设函数在上连续，那么有.

定理4设有界闭区域是由两条交合曲线与，且以及直线与所围成，假设函数在上连续，那么有

.

例1计算二重积分，其中区域是由直线，和双曲线所围成.

解：

先对积分后对积分，将积分在轴上，在区间，对任意，对积分，在的积分顺序是到，然后在积分区间上对积分，即.

同理，如果先对积分后对积分，也可得到相应结果.

假设给定的积分为二次积分，但它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量较大，可考虑交换积分次序，其一般步骤为：

〔1〕先根据给定的二次积分限，写出积分区域的不等式表达式，并依此作出区域的图形；

（2）根据区域的图形，重新选择积分限，化为另一种类型的二重积分.特别地，假设积分被积函数中出现，，，等函数时，也可利用分部积分法来计算[6].

例2设是由直线及围成的区域，试计算：

的值.

解：

假设用先对后对的积分，那么

.

由于函数的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，那么有.由分部积分法，即可算得：

.

许多常见的区域都可以分解成为有限个除边界外无公共点的型区域或型区域.因而解决了型区域或型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.

例3计算二重积分，其中为由直线及所围的三角形区域.

解：

当把看作区域时，相应的

，.

所以

.

2.3利用变量替换法计算二重积分

当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进展计算[7].

引理设变换，将平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域，一对一地映成平面上的闭区域，函数，在分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式，，那么区域的面积.

定理5设在有界闭区域上可积，变换，将平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成平面上的闭区域，函数，在分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式，那么.

例4求，其中是由，，所围区域.

解：

为了简化被积函数，令，，为此作变换，，那么，在变换的作用下，

.

例5求抛物线，和直线，所围成区域的面积，.

解：

的面积.为了简化积分区域，作变换，.

它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域.

由于，，

所以.

2.4利用极坐标系计算二重积分

当积分区域是圆域或圆域的一局部，或者被积函数的形式为时，采用极坐标变换，往往能到达简化积分区域或被积函数的目的.此时，变换的函数行列式为.

应用极坐标替换将直角坐标系中的二重积分化为极坐标系中的二重积分，能简化二重积分的计算，二重积分的极坐标替换是

.

下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分计算.