离散数学试题及答案.docx

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离散数学试题及答案

离散数学试题及答案

一、填空题

1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________;ρ（A）-ρ（B）＝__________________________.

2.设有限集合A,|A|=n,则|ρ（A×A）|=__________________________.

3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是_______________________________________,其中双射的是__________________________.

4.已知命题公式G＝⌝（P→Q）∧R，则G的主析取范式是_______________________________

__________________________________________________________.

5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.

6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从A⋂B＝_________________________;A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________.

7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________,________________________,_______________________________.

8.设命题公式G＝⌝（P→（Q∧R）），则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________,__________________________.

9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系R1={（1,4）,（2,3）,（3,2）},R1={（2,1）,（3,2）,（4,3）},则R1∙R2=________________________,R2∙R1=____________________________,R12=________________________.

10.设有限集A,B，|A|=m,|B|=n,则||ρ（A⨯B）|=_____________________________.

11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={x|0≤x<2,x∈R},则A-B=__________________________,B-A=__________________________,

A∩B=__________________________,.

13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除，则R以集合形式（列举法）记为__________________________________________________________________.

14.设一阶逻辑公式G=∀xP（x）→∃xQ（x），则G的前束范式是_______________________________.

15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。

16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式∀xR（x）→∃xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是__________________________________________________________________________.

17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。

则R⋅S＝_____________________________________________________,

R2＝______________________________________________________.

二、选择题

1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（）。

（A）{2}∈A（B）{a}⊆A（C）∅⊆{{a}}⊆B⊆E（D）{{a},1,3,4}⊂B.

2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（）.

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性

3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（）。

（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对

4下列语句中，（）是命题。

（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人

（C）x+5>6（D）下午有会吗？

5设I是如下一个解释：

D＝{a,b},

则在解释I下取真值为1的公式是（）.

（A）∃x∀yP（x,y）（B）∀x∀yP（x,y）（C）∀xP（x,x）（D）∀x∃yP（x,y）.

6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（）.

（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.

7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝∃xP（x）,H＝∀xP（x）,则一阶逻辑公式G→H是（）.

（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式.

8设命题公式G＝⌝（P→Q），H＝P→（Q→⌝P），则G与H的关系是（）。

（A）G⇒H（B）H⇒G（C）G＝H（D）以上都不是.

9设A,B为集合，当（）时A－B＝B.

（A）A＝B（B）A⊆B（C）B⊆A（D）A＝B＝∅.

10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（）。

（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对

11下列关于集合的表示中正确的为（）。

（A）{a}∈{a,b,c}（B）{a}⊆{a,b,c}（C）∅∈{a,b,c}（D）{a,b}∈{a,b,c}

12命题∀xG（x）取真值1的充分必要条件是（）.

（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.

（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.

13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（）.

（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.

14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树.

（A）6（B）5（C）10（D）4.

15.设图G的相邻矩阵为，则G的顶点数与边数分别为（）.

（A）4,5（B）5,6（C）4,10（D）5,8.

三、计算证明题

1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。

2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,y∈A且x≥y},求

（1）画出R的关系图；

（2）写出R的关系矩阵.

3.设R是实数集合，σ,τ,ϕ是R上的三个映射，σ（x）=x+3,τ（x）=2x,ϕ（x）＝x/4,试求复合映射σ•τ，σ•σ,σ•ϕ,ϕ•τ，σ•ϕ•τ.

4.设I是如下一个解释：

D={2,3},

a

b

f

（2）

f（3）

P（2,2）

P（2,3）

P（3,2）

P（3,3）

3

2

3

2

0

0

1

1

试求

（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;

（2）∀x∃yP（y,x）.

5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。

（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；

（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；

（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.

6.设命题公式G=⌝（P→Q）∨（Q∧（⌝P→R））,求G的主析取范式。

7.（9分）设一阶逻辑公式：

G=（∀xP（x）∨∃yQ（y））→∀xR（x），把G化成前束范式.

9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},

（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；

（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.

11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：

（1）G=（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）

（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））

13.设R和S是集合A＝{a,b,c,d}上的关系，其中R＝{（a,a）,（a,c）,（b,c）,（c,d）},S＝{（a,b）,（b,c）,（b,d）,（d,d）}.

（1）试写出R和S的关系矩阵；

（2）计算R•S,R∪S,R－1,S－1•R－1.

四、证明题

1.利用形式演绎法证明：

{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。

2.设A,B为任意集合，证明：

（A-B）-C=A-（B∪C）.

3.（本题10分）利用形式演绎法证明：

{⌝A∨B,⌝C→⌝B,C→D}蕴涵A→D。

4.（本题10分）A,B为两个任意集合，求证：

A－（A∩B）=（A∪B）－B.

参考答案

一、填空题

1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

2..

3.α1={（a,1）,（b,1）},α2={（a,2）,（b,2）},α3={（a,1）,（b,2）},α4={（a,2）,（b,1）};α3,α4.

4.（P∧⌝Q∧R）.

5.12,3.

6.{4},{1,2,3,4},{1,2}.

7.自反性；对称性；传递性.

8.（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）.

9.{（1,3）,（2,2）,（3,1）};{（2,4）,（3,3）,（4,2）};{（2,2）,（3,3）}.

10.2m⨯n.

11.{x|-1≤x<0,x∈R};{x|1

12.12;6.

13.{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.

14.∃x（⌝P（x）∨Q（x））.

15.21.

16.（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））.

17.{（1,3）,（2,2）};{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.