高中数学章末质量评估3新人教A版选修IWord文档下载推荐.docx
《高中数学章末质量评估3新人教A版选修IWord文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学章末质量评估3新人教A版选修IWord文档下载推荐.docx（43页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
④中，原式＝（
）＝0.故选C.
答案：
C
2．已知向量a＝（2,4,5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（ ）
A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝
∵l1∥l2，∴a∥b，则
，∴x＝6，y＝
D
3．在下列四个命题中，真命题为（ ）
A．已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一地写成p＝xa＋yb＋zc
B．若a，b，c三向量两两不共线，则空间任意一个向量p总可以写成p＝xa＋yb＋zc
C．若a，b，c不共面，则空间任意一个向量p总可以唯一地写成p＝xa＋yb＋zc
D．若a，b，c三向量两两不共线，则xa＋yb＋zc＝0的充要条件是x＝y＝z＝0
对于空间作为基底的三向量a，b，c必须要有限制，即不共面，故C正确．
4．若两点A（x,5－x,2x－1），B（1，x＋2,2－x），当|
|取最小值时，x的值等于（ ）
A．19B．－
C.
D.
＝（1－x,2x－3，－3x＋3），
则|
|＝
故当x＝
时，|
|取最小值．
5．已知A（2，－5,1），B（2，－2,4），C（1，－4,1），则
与
的夹角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
＝（0,3,3），
＝（－1,1,0），|
|＝3
，|
，
·
＝3，
∴cos〈
〉＝
∴〈
〉＝60°
6．已知向量
，则平面AMN的一个法向量是（ ）
A．（－3，－2,4）B．（3,2，－4）
C．（－3，－2，－4）D．（－3,2，－4）
设平面AMN的法向量n＝（x，y，z），
则
即
令z＝4，则n＝（3，－2,4），由于（－3,2，－4）＝－（3，－2,4），可知选项D符合．
7．已知空间三点A（0,2,3），B（－2,1,6），C（1，－1,5）．若|a|＝
，且a分别与
垂直，则向量a为（ ）
A．（1,1,1）B．（－1，－1，－1）或（1,1,1）
C．（－1，－1，－1）D．（1，－1,1）或（－1,1，－1）
设a＝（x，y，z），
＝（－2，－1,3），
＝（1，－3,2），
解得a＝（1,1,1）或（－1，－1，－1）．
B
8．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则
的值为（ ）
A.
a2B.
a2
C.
a2D．a2
如下图，
（
），
）
（a2cos60°
＋a2cos60°
）＝
a2.
9．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
B.
建系如图，则S（0,0,3），A（0,0,0），B（
，1,0），C（0,2,0）．
∴
＝（
，1,0），
，1，－3），
＝（0,2，－3）．
设面SBC的法向量为n＝（x，y，z）．
令y＝3，则z＝2，x＝
，∴n＝（
，3,2）．
设AB与面SBC所成的角为θ，则sinθ＝
10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°
，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
建系如图，设AB＝1，则B（1,0,0），A1（0,0,1），C1（0,1,1），A（0,0,0）．
＝（－1,0,1），
＝（0,1,1）．
，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60°
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，
＝（1,0,1），
设平面A1DE的法向量n1＝（x，y，z），
解得
令z＝1，
∴n1＝
平面ABCD的一个法向量为n2＝（0,0,1），
∴cos〈n1，n2〉＝
12．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（ ）
连接A1D，则O
，C1（0，1,1）．易知平面ABC1D1的一个法向量n＝
＝（1,0,1），与之同向的单位向量为n0＝
∴d＝|
n0|＝
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）
13．如图所示，在几何体A－BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为________．
∵|
|＝|
|＝1＝|
|，
且
＝0.
又∵
2＝（
）2，∴
2＝3，∴AE的长为
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是________．
如图，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A（1,0,0），B（1，1,0），C1（0,1,1），易证
是平面A1BD的一个法向量．
＝（－1,1,1），
＝（－1,0,1）．
cos〈
所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为
15．已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ），若a，b，c共面，则λ＝________.
由已知可发现a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，
，解得
16．如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{
}为基底，则
＝________.
＝－
－
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设
＝a，
＝b，
＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示
（c－b－a）＝－
a－
b＋
c.
＝－a＋
＝－a－
＝－a＋c＋
（－c＋b）
a.
18．（本小题满分12分）如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；
若不存在，说明理由．
假设存在F点，使CF⊥平面B1DF，
不妨设AF＝b，则F（
a,0，b），
a，－
a，b），
a,0，b－3a），
∵
＝a2－a2＋0＝0，
⊥
恒成立．由
＝2a2＋b（b－3a）＝b2－3ab＋2a2＝0，得b＝a或b＝2a.
∴当AF＝a或AF＝2a时，CF⊥平面B1DF.
19．（本小题满分12分）三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°
，∠AOB＝90°
且OB＝OO1＝2，OA＝
.求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值．
以O为原点，分别以直线OA，OB为x轴、y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
则O1（0,1，
），A（
，0,0），A1（
，1，
），B（0,2,0），
＝（－
，1，－
，－1，－
）．
设A1B与AO1所成的角为α，则
cosα＝
故异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为
20．（本小题满分12分）如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°
，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（1）证明：
AC⊥B1D；
（2）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
（1）证明：
易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A（0,0,0），B（t,0,0），B1（t，0,3），C（t,1,0），C1（t,1,3），D（0,3,0），D1（0,3,3）．
从而
＝（－t,3，－3），
＝（t,1,0），
＝（－t,3,0）．
因为AC⊥BD，所以
＝－t2＋3＋0＝0.
解得t＝
或t＝－
（舍去）．
于是
，3，－3），
，1,0）．
因为
＝－3＋3＋0＝0，所以
即AC⊥B1D.
（2）由
（1）知，
＝（0,1,0）．
设n＝（x，y，z）是平面ACD1的一个法向量，
令x＝1，则n＝（1，－
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则
sinθ＝|cos〈n，
〉|＝
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为
21．（本小题满分12分）在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2
，M，N分别为AB，SB的中点．
AC⊥SB；
（2）求二面角N－CM－B的
升级会员 