高等数学等价无穷小替换极限的计算Word文档下载推荐.docx
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前面我们研究了
数列
的极限、
（
、
）函数
的极限这七种趋近方式。
下面我们用
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
定义：
当在给定的
＊下，
以零为极限，则称
是
＊下的无穷小，即
。
例如,
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；
零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
当在给定的
无限增大，则称
＊下的无穷大，即
显然，
时，
都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；
无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
，
，
所以
当
时为无穷小，当
时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：
在自变量的同一变化过程中，如果
为无穷大，
则
为无穷小；
反之，如果
为无穷小，且
，则
为无穷大。
小结：
无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
其中
是自变量在同一变化过程
（或
）中的无穷小.
证：
（必要性）设
令
则有
（充分性）设
是当
时的无穷小，则
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）;
（2）
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如：
，
推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如，
观察各极限：
不可比.
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1．定义:
设
是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且
例1
例2
解
2．常用等价无穷小:
（1）
～
；
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
例如
3．等价无穷小替换
定理：
例3
（1）
解:
（1）
故原极限
=8
（2）原极限=
=
例4
错解:
=0
正解:
故原极限
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。
例5
原式
三、极限的简单计算
1.代入法：
直接将
的
代入所求极限的函数中去，若
存在，即为其极限，例如
若
不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
就代不进去了，但我们看出了这是一个
型未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2.分解因式，消去零因子法
3.分子（分母）有理化法
又如，
4.化无穷大为无穷小法
，实际上就是分子分母同时除以
这个无穷大量。
由此不难得出
，（分子分母同除
）。
再如，
5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
，（无穷小量乘以有界量）。
解：
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6.利用两个重要极限求极限（例题参见§
1.4例3—例5）
7.分段函数、复合函数求极限
左右极限存在且相等,
【启发与讨论】
思考题1：
无界，
不是无穷大．
结论：
无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：
，且
，问：
能否保证有
的结论？
试举例说明.
不能保证.例
思考题3：
任何两个无穷小量都可以比较吗？
不能．例如当
时
都是无穷小量
但
不存在且不为无穷大，故当
和
不能比较.
【课堂练习】求下列函数的极限
原极限=
（2）求
【分析】“
”型，拆项。
（3）
；
【分析】“抓大头法”，用于
型
，或原极限
【分析】分子有理化
（5）
【分析】
型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
（6）
【分析】“
”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。
=6
先变形再求极限.
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容:
两个定义;
四个定理;
三个推论.
2、几点注意:
（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3）无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。
高（低）阶无穷小;
等价无穷小;
无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法,注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
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