高考数学一轮复习配套讲义第4篇 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示Word下载.docx
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（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．（×
）
（2）若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.（√）
（3）（·
广东卷改编）已知a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c.（√）
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
（√）
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
（√）
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.（×
（4）（教材习题改编）已知点A（2,1），B（－1,3），则
＝（－3,2）．（√）
（5）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件可表示成
＝
.（×
（6）（·
湘潭调研改编）已知向量a＝（4，x），b＝（－4,4），若a∥b，则x的值为－4.（√）
[感悟·
提升]
1．向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量
＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为（x，y），但应注意其表示形式的区别，如点A（x，y），向量a＝
＝（x，y）．
当平面向量
平行移动到
时，向量不变即
＝（x，y），但
的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
2．两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如
（1）．二是注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0，如（5）.
考点一 平面向量基本定理的应用
【例1】如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知
＝c，
＝d，试用c，d表示
，
解 法一 设
＝a，
＝b，
则a＝
＋
＝d＋
，①
b＝
＝c＋
.②
将②代入①，得a＝d＋
∴a＝
d－
c＝
（2d－c），③
将③代入②，得b＝c＋
×
（2d－c）＝
（2c－d）．
∴
（2d－c），
法二 设
＝b.
因M，N分别为CD，BC的中点，
所以
b，
a，
因而
⇒
即
规律方法
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：
先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【训练1】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若A
＝λ
＋μ
，则λ＋μ＝（ ）．
A.
B.
C.
D.
解析 因为
＋（
）＝2
＝2
－
，所以
，所以λ＋μ＝
答案 D
考点二 平面向量的坐标运算
【例2】已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4），设
＝c，且
＝3c，
＝－2b.
（1）求3a＋b－3c；
（2）求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
（3）求M，N的坐标及向量
的坐标．
解 由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1,8）．
（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1,8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）．
（2）∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n）＝（5，－5），
解得
（3）设O为坐标原点，∵
＝3c＋
＝（3,24）＋（－3，－4）＝（0,20），
∴M的坐标为（0,20）．
又
＝－2b，
＝－2b＋
＝（12,6）＋（－3，－4）＝（9,2），
∴N的坐标为（9,2），
＝（9－0,2－20）＝（9，－18）．
规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
【训练2】
（1）已知平面向量a＝（1,1），b＝（1，－1），则向量
a－
b＝（ ）．
A．（－2，－1）B．（－2,1）C．（－1,0）D．（－1,2）
学生用书第72页
（2）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
＝（2,4），
＝（1,3），则
＝（ ）．
A．（－2，－4）B．（－3，－5）
C．（3,5）D．（2,4）
解析
（1）
a＝
b＝
故
b＝（－1,2）．
（2）由题意得
＝（
）－
－2
＝（1,3）－2（2,4）＝（－3，－5）．
答案
（1）D
（2）B
考点三 平面向量共线的坐标表示
【例3】平面内给定三个向量a＝（3,2），b＝（－1,2），c＝（4,1）．
（1）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k；
（2）若d满足（d－c）∥（a＋b），且|d－c|＝
，求d的坐标．
审题路线
（1）分别求出（a＋kc）与（2b－a）的坐标⇒利用向量平行的充要条件列方程⇒解关于k的方程；
（2）设d的坐标⇒根据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到d的坐标．
解
（1）a＋kc＝（3＋4k,2＋k），2b－a＝（－5,2），
由题意得2×
（3＋4k）－（－5）×
（2＋k）＝0，
解得k＝－
（2）设d＝（x，y），则d－c＝（x－4，y－1），
又a＋b＝（2,4），|d－c|＝
或
∴d的坐标为（3，－1）或（5,3）．
规律方法a∥b的充要条件有两种表达方式：
（1）a∥b（b≠0）⇔a＝λb（λ∈R）；
（2）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
两种充要条件的表达形式不同．第
（1）种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b≠0，而第
（2）种无b≠0限制．
【训练3】
（1）（·
衡水中学一检）已知向量a＝（1,2），b＝（1,0），c＝（3,4）．若λ为实数，（a＋λb）∥c，则λ＝（ ）．
A.
C．1D．2
（2）已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A（1,2），B（2,1），C（4,2），则点D的坐标为________．
解析
（1）由于a＋λb＝（1＋λ，2），故（a＋λb）∥c⇒4（1＋λ）－6＝0，解得λ＝
，故选A.
（2）∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴
设点D的坐标为（x，y），则
＝（4,2）－（x，y）＝（4－x,2－y），
＝（2,1）－（1,2）＝（1，－1），
∴（4－x,2－y）＝2（1，－1），即（4－x,2－y）＝（2，－2），
故点D的坐标为（2,4）．
答案
（1）A
（2）（2,4）
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．
3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
思想方法3——方程思想在平面向量线性运算中的应用
【典例】（·
北京卷）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），则
＝________.
解析 以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A（1，－1），B（6,2），C（5，－1），所以a＝
＝（－1,1），b＝
＝（6,2），c＝
＝（－1，－3）．由c＝λa＋μb可得
＝4.
答案 4
[反思感悟]
（1）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．
（2）利用向量共线建立方程组，用方程的思想求解．
【自主体验】
1．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析 由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m（e1＋2e2）＋
n（－e1＋e2）＝（m－n）e1＋（2m＋n）e2.
又e1，e2是平面内一组基向量，
则
答案
－
2．已知向量a＝
，b＝（x,1），其中x>
0，若（a－2b）∥（2a＋b），则x＝________.
解析 a－2b＝
，2a＋b＝（16＋x，x＋1），
由题意得（8－2x）·
（x＋1）＝
·
（16＋x），
整理得x2＝16，又x>
0，所以x＝4.
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1．（·
华东师大附中模拟）如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：
①
与
；
②
③
④
，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是（ ）．
A．①②B．③④C．①③D．①④
解析 ①中
不共线，可作为基底；
②中
为共线向量，不可作为基底；
③中
是两个不共线的向量，可作为基底；
④中
在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选C.
答案 C
2．（·
揭阳二模）已知点A（－1,5）和向量a＝（2,3），若
＝3a，则点B的坐标为（ ）．
A．（7,4）B．（7,14）C．（5,4）D．（5,14）
解析 设点B的坐标为（x，y），则
＝（x＋1，y－5）．
由
＝3a，得
3.
如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，
＝x
＋y
，且
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