电磁场镜像法Word格式文档下载.docx

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，周围介质的介电常数为

，求解其中的电场

。

解：

在电介质

中的场

，除点电荷

所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（

未知），因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于

区域，除

所在点外，都有

以无限远处为参考点

在边界上有：

即边界条件未变。

由唯一性定理有

对于大场

不存在

推广到线电荷

的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例1-15.P54

求空气中一个点电荷

在地面上引起的感应电荷分布情况。

用镜像法求解

P点：

，

感应电荷密度

，

（大地）

点电荷

例1-16P55

解：

用镜像法，如图所示，边界条件

2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时的电场问题。

应用镜像法

求解区域

如图b，

如图c

设

中电位为

满足条件：

在

中除

所在点外，有

，在

中

在两种媒质分界面上应有

由

有

与

两个镜像电荷来代替边界的极化电荷

若q为

的线电荷则有：

3.点电荷对金属面的镜像问题

点电荷与接地金属球的问题

①

的电场中，求电位为零的等位面。

令

则有

余弦定理

等位面为球面（等位线为圆），所以电位

无关，即与

无关，

必有

这说明只要满足上式，必有一个半径为R的球面是零电位的等位面。

讨论点电荷与接地金属球问题

除

点外，

，没撤除金属球，整个空间充满

，在离球心为b处，

，用一个负电荷

取代。

（金属球外）的电场可用

和

两点来计算。

边界条件

未变，

2对于金属球不接地，原来又不带电荷，则必须同时考虑正负两部分电荷的作用，此时用镜像法，在球外区域计算电场，应是三部分电荷共同作用：

、

（

，距球心b处）和

，在球心）

3若求带电

，则应是4部分电荷作用。

1-9部分电容

一、电容

由两个导体组成电容器，即由两个导体组成的独立系统电容C。

单位法拉。

由它的电极的几何形状、尺寸相互位置及导体间的介质有关，与带电情况无关。

其实际表明的是两导体间介质的性质。

公式

是相互对应的。

2.几种常用电容器电容的计算

1孤立导体的电容

，实质上是该导体与无限远处另一导体的电容

2无限长同轴导体圆柱面电容

，a、b分别为内外圆柱导体的半径。

3同心球面导体间的电容

孤立导体球的电容

④二线传输线每单位长度电容

3.部分电容

实际工作中，常遇到三个或更多导体组成的系统。

在多个导体中一个导体在其他导体的影响下，与另一导体构成的电容只能引入部分电容的概念的描述。

1定义：

在由三个及三个以上带电导体组成的系统，任意两个导体之间的电压不仅要受到它的自身电荷还要受到其余导体上电荷的影响，这时系统中导体间的电压与导体电荷关系一般不能仅用一个电容来表示，要用部分电容来描述。

静止独立系统：

一个系统，其中电场的分布只与系统内各带电体的形状、尺寸、相对位置及电介质分布有关，而和系统外的带电体无关，并且所有电通量密度

全部从系统内带电体发出，也全部终止于系统内的带电体上。

例对于

个导体构成静电独立系统，令导体从

顺序编号，则

若系统中电介质是线性的，设0号导体为参考导体，则其余导体与0号导体之间的电压为：

：

②

③

④

只与导体的几何形状、大小、尺寸、相互位置及电介质有关。

也只与导体形状、尺寸等有关。

②

令

——自有部分电容，即各导体与0号导体之间的电容

——互有部分电容，相应两导体之间的部分电容。

都是正的，

共有

个部分电容

例1-18.P65.

用镜像法

构成两队电轴，由电轴法求空间p点电位。

设电轴与几何轴重合，

则：

1-10静电能量与力

一、定义

引入：

从所学的机械能，我们知道很多力学问题由于从能量角度出发而使问题求解大为简化。

因此在研究带电体系统的力学关系时，通过能量来分析是有利的。

对于一种电荷分布，存在着与之相关联的力系统，也就有与之相关联的能量储存在系统中，一个带电体系统的能量比照力学系统来分，可分为位能和动能两部分。

在静电场中，由于

，所以这一系统的能量完全以位能形式存在。

1.静电能量：

由于电荷的相互作用而引起的位能称为静电能量，其计算为任意电荷分布下的静电能量可以根据在实现这种分布的过程中，由于反抗电荷之间的库仑作用力所需要作的功来计算。

二、静电能量的计算

静电场的能量定域在静电场中。

它是在建立电场过程中由外源作功转化而来的。

1.电荷作任意分布时的静电能量

电荷之间有相互作用力，移动电荷时，电场力要作功，说明电场内储存有能量。

或者说要形成一个带电体系，形成一个电场，外力要对电荷作功，这个功就转换为电场

的能量，储存在电场中，即静电能量是分布在静电场之中的。

推导：

设电荷的体密度为

，面密度为

，假设系统中的介质

是线性的。

设带电导体已充电到这种程度，场中某一特定点的电位是

，再引入电荷增量

置于该点时，需要作功为

因此全部静电能量可通过积分可得，

由于介质是线性德尔，所以要达到最后的分布需要作的功是一定的，与如何实现这一分布的过程无关。

因此，我们可以选择这样一种充电模式，即在任何时刻使所以带电体的电荷密度都按同一比例增长，令此比例比值为m，且

，这样任意时刻，电荷密度增量为

是最终的体电荷密度

是最终的面电荷密度

总静电能量为：

①若系统中只有带电导体的情况

，其静电能量可表示成

S——为所以导体表面，由于每一导体表面都是等位面，因此对于第K号导体，有

2静电能量的分布问题。

V——是对导体以外整个场域进行的，面积分是对所有导体表面

进行的。

是导体表面法线方向的单位向量。

向量分析中的恒等式：

有

S——位于无限远处

在无限远处，

故S面上，整个积分将随

而变，所以

静电能量体密度

各向同性线性媒质中，

3点电荷系统的静电能量

场源为连续分布电荷的静电能量，

而对于点电荷系统，上式不相等。

为任意点P上的分别由

所引起的场强，合成场强

从而有：

第一项表明各电荷体系单独存在时各自的静电能量，称为自有能（或故有能）；

第二项

代表两个电荷体系间的相互作用能，称为互有能。

当保持每个带电体系的电荷分布不变而改变它们之间的相对位置时，各带电体系的固有能不变，变化的都是相互作用能，即相互作用能与电荷体系之间的相对位置有关。

互有能相当于把每个带电体从现有位置移到无限远离状态时，电场力所作的功。

即点电荷与外场的相互作用能称为互有能。

若激发外电场的电荷以及带电体，在本身的形状、大小都不变的条件下，带电体在外电场中运动也只是相互作用能发生了变化而固有能不变。

例1-19、例1-20P71-72

三、静电力的计算

虚位移法来计算静电力、库仑定律计算力

1.概念

1广义几何坐标：

确定系统中各导体形状、尺寸与位置的一组独立几何量。

如距离、面积、体积、角度等。

2广义力：

企图改变某一广义坐标的力。

它对应于该广义坐标广义力与广义坐标约束关系：

广义力乘以由它引起的广义坐标的改变应等于功。

2.虚位移动做功

对于（n+1）导体组成的系统。

0号作为参考导体，除P外其余导体不动，且P号导体

也只有一个坐标g发生变化，该系统所发生的功能过程为：

表示与各带电体相连接的电源提供的能量。

——静电能量的增量

——电场力所做的功

1若各导体电位不变

静电能量的增量等于外源所提供能量的一半。

——电源做功

电场力做功为

2若各带电体的电荷维持不变

即P号导体移动时，所有带电体不知外源相连，

即

即外源被隔绝，电场力要做功只有靠减少系统内静电能量实现。

事实上带电体并没有移动，电场力分布也没有改变，所求得的是当时电荷和电位情况下

的力。

两种情况所得结果应该相等。

例平行板电容器

在电场力作用下，有使电容C增大的趋势。

例1-21、1-22

3.法拉第对电场力的观点

法拉第认为在电场中的每一段电位移管，沿其轴线方向要受到纵张力，而在垂直于轴线

方向，则要受到侧压力，纵张力与侧压力的量值相等，都是

，因此电位移管本身好像被拉紧了的橡皮筋，沿轴线方向，它有收缩的倾向，而在垂直于轴线方向，它有扩张的趋势。

证明：

两种媒质分界面上，电场作用于单位面积上的力为

不论电场方向如何，此力总是垂直于该元面积，且总是介电常数较大的介质指向较小的一边。

总复习

一、电轴法

两导线几何轴间距2h，导线半径为a，等效电轴与原点距离b，场中任意点的电位

P1-33，c、d点电位计算

二、镜像法

1.两种不同介质

无限大平面镜像电荷

q置于

极化电荷等效为

，则

或

2.点电荷与接地球面的镜像电荷

放置于球（半径为R）之外

四、部分电容

自有部分电容

互有电容

例1.试求真空中电量为Q，半径为a的孤立带电导体球的静电能量。

可用5种方法求解。

1.用静电公式

球外整个电场空间中，

2.公式：

，

3.带电导体静电公式

4.用外力作功过程计算

当球带电为q时，

使

5.应用电容器静电能量公式