学年高中数学新人教版选修22课时作业第一章 导数及其应用133函数的最大小值与导数Word格式文档下载.docx

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由此你得到什么结论？

答　函数y＝f（x）在区间a，b]上的最大值是f（a），最小值是f（x3）．若区间改为（a，b），则f（x）有最小值f（x3），无最大值．

小结　一般地，如果在区间a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．

思考3　函数的极值和最值有什么区别和联系？

答　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；

极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；

有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；

极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间（a，b）上若存在最值，则必是极值．

小结　求一个函数在闭区间上的最值步骤：

1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．

2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．

3．比较大小，确定结论．

例1　求下列函数的最值：

（1）f（x）＝2x3－12x，x∈－2,3]；

（2）f（x）＝

x＋sinx，x∈0,2π]．

解　

（1）f（x）＝2x3－12x，

∴f′（x）＝6x2－12＝6（x＋

）（x－

），

令f′（x）＝0，解得x＝－

或x＝

.

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－

）

－

（－

，

（

，＋∞）

f′（x）

＋

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－

），（

，＋∞），单调递减区间为（－

）．

因为f（－2）＝8，f（3）＝18，f（

）＝－8

f（－

）＝8

；

所以当x＝

时，f（x）取得最小值－8

当x＝3时，f（x）取得最大值18.

（2）f′（x）＝

＋cosx，令f′（x）＝0，又x∈0,2π]，

解得x＝

π或x＝

π.

计算得f（0）＝0，f（2π）＝π，f（

π）＝

f（

π－

∴当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝0；

当x＝2π时，f（x）有最大值f（2π）＝π.

反思与感悟　

（1）求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得．

①求出导数为零的点．

②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．

（2）若函数在闭区间a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．

跟踪训练1　求下列函数的最值：

（1）f（x）＝

x3－4x＋4，x∈0,3]；

（2）f（x）＝ex（3－x2），x∈2,5]．

解　

（1）∵f（x）＝

x3－4x＋4，

∴f′（x）＝x2－4.

令f′（x）＝0，得x1＝－2，x2＝2.

∵f

（2）＝－

，f（0）＝4，f（3）＝1，

∴函数f（x）在0,3]上的最大值为4，最小值为－

（2）∵f（x）＝3ex－exx2，

∴f′（x）＝3ex－（exx2＋2exx）＝－ex（x2＋2x－3）

＝－ex（x＋3）（x－1），

∵在区间2,5]上，f′（x）＝－ex（x＋3）（x－1）<

0，

即函数f（x）在区间2,5]上单调递减，

∴x＝2时，函数f（x）取得最大值f

（2）＝－e2；

x＝5时，函数f（x）取得最小值f（5）＝－22e5.

探究点二　含参数的函数的最值问题

例2　已知a是实数，函数f（x）＝x2（x－a）．

（1）若f′

（1）＝3，求a的值及曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程．

（2）求f（x）在区间0,2]上的最大值．

解　

（1）f′（x）＝3x2－2ax.

因为f′

（1）＝3－2a＝3，

所以a＝0.又当a＝0时，f

（1）＝1，f′

（1）＝3，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为3x－y－2＝0.

（2）令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝

当

≤0，即a≤0时，f（x）在0,2]上单调递增，

从而f（x）max＝f

（2）＝8－4a.

≥2，即a≥3时，f（x）在0,2]上单调递减，

从而f（x）max＝f（0）＝0.

当0<

<

2，即0<

a<

3时，

f（x）在

上单调递减，在

上单调递增，

从而f（x）max＝

综上所述，f（x）max＝

反思与感悟　由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．

跟踪训练2　在本例中，区间0,2]改为－1,0]结果如何？

解　令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝

a，

①当

a≥0，即a≥0时，f（x）在－1,0]上单调递增，从而f（x）max＝f（0）＝0；

②当

a≤－1，即a≤－

时，f（x）在－1,0]上单调递减，

从而f（x）max＝f（－1）＝－1－a；

③当－1<

0，即－

0时，

上单调递增；

在

上单调递减，

则f（x）max＝f

＝－

a3.

综上所述：

f（x）max＝

探究点三　函数最值的应用

思考　函数最值和“恒成立”问题有什么联系？

答　解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．

如f（x）>

0恒成立，只要f（x）的最小值大于0即可．

如f（x）<

0恒成立，只要f（x）的最大值小于0即可．

以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．

例3　设函数f（x）＝2x3－9x2＋12x＋8c，

（1）若对任意的x∈0,3]，都有f（x）<

c2成立，求c的取值范围．

（2）若对任意的x∈（0,3），都有f（x）<

解　

（1）∵f′（x）＝6x2－18x＋12＝6（x－1）（x－2）．

∴当x∈（0,1）时，f′（x）>

0；

当x∈（1,2）时，f′（x）<

当x∈（2,3）时，f′（x）>

0.

∴当x＝1时，f（x）取极大值f

（1）＝5＋8c.

又f（3）＝9＋8c>

f

（1），

∴x∈0,3]时，f（x）的最大值为f（3）＝9＋8c.

∵对任意的x∈0,3]，有f（x）<

c2恒成立，

∴9＋8c<

c2，即c<

－1或c>

9.

∴c的取值范围为（－∞，－1）∪（9，＋∞）．

（2）由

（1）知f（x）<

f（3）＝9＋8c，

∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，

∴c的取值范围为（－∞，－1]∪9，＋∞）．

反思与感悟　

（1）“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．

（2）此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．

跟踪训练3　设函数f（x）＝tx2＋2t2x＋t－1（x∈R，t＞0）．

（1）求f（x）的最小值h（t）；

（2）若h（t）＜－2t＋m对t∈（0,2）恒成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）∵f（x）＝t（x＋t）2－t3＋t－1　（x∈R，t＞0），

∴当x＝－t时，f（x）取最小值f（－t）＝－t3＋t－1，

即h（t）＝－t3＋t－1.

（2）令g（t）＝h（t）－（－2t＋m）＝－t3＋3t－1－m，

由g′（t）＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1（不合题意，舍去）．

当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：

t

（0,1）

1

（1,2）

g′（t）

g（t）

1－m

∴对t∈（0,2），当t＝1时，g（t）max＝1－m，

∵h（t）<

－2t－m对t∈（0,2）恒成立，

也就是g（t）<

0，对t∈（0,2）恒成立，

∴只需g（t）max＝1－m<

0，∴m>

1.

故实数m的取值范围是（1，＋∞）

1．函数y＝f（x）在a，b]上（　　）

A．极大值一定比极小值大

B．极大值一定是最大值

C．最大值一定是极大值

D．最大值一定大于极小值

答案　D

解析　由函数的最值与极值的概念可知，y＝f（x）在a，b]上的最大值一定大于极小值．

2．函数f（x）＝x3－3x（|x|<

1）（　　）

A．有最大值，但无最小值

B．有最大值，也有最小值

C．无最大值，但有最小值

D．既无最大值，也无最小值

解析　f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），当x∈（－1,1）时，f′（x）<

0，所以f（x）在（－1,1）上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.

3．函数y＝x－sinx，x∈

的最大值是（　　）

A．π－1B.

－1C．πD．π＋1

答案　C

解析　因为y′＝1－cosx，当x∈

时，y′>

0，则函数在区间

上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C.

4．函数f（x）＝x3－3x2－9x＋k在区间－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．

答案　－71

解析　f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x＋1）．

由f′（x）＝0得x＝3或x＝－1.

又f（－4）＝k－76，f（3）＝k－27，

f（－1）＝k＋5，f（4）＝k－20.

由f（x）max＝k＋5＝10，得k＝5，

∴f（x）min＝k－76＝－71.

呈重点、现规律]

1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；

函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．

2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．

3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．

一、基础过关

1．函数f（x）＝－x2＋4x＋7，在x∈3,5]上的最大值和