届中考中考数学真题分类汇编解析版专题勾股定理Word格式.docx
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∵∠ACB=90°
,CD⊥AB,
∴∠CDA=90°
,
∴∠CAF+∠CFA=90°
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠FAD,
∴∠CFA=∠AED=∠CEF,
∴CE=CF,
∵AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°
∴FC=FG,
∵∠B=∠B,∠FGB=∠ACB=90°
∴△BFG∽△BAC,
∴
=
∵AC=3,AB=5,∠ACB=90°
∴BC=4,
∵FC=FG,
解得:
FC=
即CE的长为
.
3.(2018•泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
A.9B.6C.4D.3
【分析】由题意可知:
中间小正方形的边长为:
a﹣b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.
由题意可知:
a﹣b,
∵每一个直角三角形的面积为:
ab=
×
8=4,
∴4×
ab+(a﹣b)2=25,
∴(a﹣b)2=25﹣16=9,
∴a﹣b=3,
D.
4.(2018•温州)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )
A.20B.24C.
【分析】欲求矩形的面积,则求出小正方形的边长即可,由此可设小正方形的边长为x,在直角三角形ACB中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程求出x的值,进而可求出该矩形的面积.
设小正方形的边长为x,
∵a=3,b=4,
∴AB=3+4=7,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
即(3+x)2+(x+4)2=72,
整理得,x2+7x﹣12=0,
解得x=
或x=
(舍去),
∴该矩形的面积=(
+3)(
+4)=24,
B.
5.(2018•娄底)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα﹣cosα=( )
B.﹣
D.﹣
【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长,再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值,进而可求出sinα﹣cosα的值.
∵小正方形面积为49,大正方形面积为169,
∴小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,
即AC2+(7+AC)2=132,
整理得,AC2+7AC﹣60=0,
解得AC=5,AC=﹣12(舍去),
∴BC=
=12,
∴sinα=
,cosα=
∴sinα﹣cosα=
﹣
=﹣
6.(2018•长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题:
“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?
”这道题讲的是:
有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?
题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( )
A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米
【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案.
∵52+122=132,
∴三条边长分别为5里,12里,13里,构成了直角三角形,
∴这块沙田面积为:
5×
500×
12×
500=7500000(平方米)=7.5(平方千米).
7.(2018•东营)如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是( )
【分析】要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解.
把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A、C的最短距离为线段AC的长.
在Rt△ADC中,∠ADC=90°
,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1.5π,
所以AC=
C.
二.填空题(共8小题)
8.(2018•吉林)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为 (﹣1,0) .
【分析】求出OA、OB,根据勾股定理求出AB,即可得出AC,求出OC长即可.
∵点A,B的坐标分别为(4,0),(0,3),
∴OA=4,OB=3,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
AB=
=5,
∴AC=AB=5,
∴OC=5﹣4=1,
∴点C的坐标为(﹣1,0),
故答案为:
(﹣1,0),
9.(2018•玉林)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°
,∠A=60°
,AB=4,则AD的取值范围是 2<AD<8 .
【分析】如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判断;
如图,延长BC交AD的延长线于E,作BF⊥AD于F.
在Rt△ABE中,∵∠E=30°
,AB=4,
∴AE=2AB=8,
在Rt△ABF中,AF=
AB=2,
∴AD的取值范围为2<AD<8,
故答案为2<AD<8.
10.(2018•襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=
,AD=1,AB=2AC,则BC的长为 2
或2
.
【分析】分两种情况:
①当△ABC是锐角三角形,如图1,
②当△ABC是钝角三角形,如图2,
分别根据勾股定理计算AC和BC即可.
分两种情况:
∵CD⊥AB,
∵CD=
,AD=1,
∴AC=2,
∵AB=2AC,
∴AB=4,
∴BD=4﹣1=3,
=2
;
同理得:
AC=2,AB=4,
综上所述,BC的长为2
2
11.(2018•盐城)如图,在直角△ABC中,∠C=90°
,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则AQ=
或
【分析】分两种情形分别求解:
①如图1中,当AQ=PQ,∠QPB=90°
时,②当AQ=PQ,∠PQB=90°
时;
时,设AQ=PQ=x,
∵PQ∥AC,
∴△BPQ∽△BCA,
∴x=
∴AQ=
②当AQ=PQ,∠PQB=90°
时,设AQ=PQ=y.
∵△BQP∽△BCA,
∴y=
综上所述,满足条件的AQ的值为
12.(2018•黔南州)如图,已知在△ABC中,BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F,且∠BAC=45°
,BD=6,CD=4,则△ABC的面积为 60 .
【分析】首先证明△AEF≌△BEC,推出AF=BC=10,设DF=x.由△ADC∽△BDF,推出
,构建方程求出x即可解决问题;
∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°
∵∠BAC=45°
∴AE=EB,
∵∠EAF+∠C=90°
,∠CBE+∠C=90°
∴∠EAF=∠CBE,
∴△AEF≌△BEC,
∴AF=BC=10,设DF=x.
∵△ADC∽△BDF,
整理得x2+10x﹣24=0,
解得x=2或﹣12(舍弃),
∴AD=AF+DF=12,
∴S△ABC=
•BC•AD=
10×
12=60.
故答案为60.
13.(2018•滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD上,若AE=
,∠EAF=45°
,则AF的长为
【分析】取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,则NF=
x,再利用矩形的性质和已知条件证明△AME∽△FNA,利用相似三角形的性质:
对应边的比值相等可求出x的值,在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长.
取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠BAD=∠B=90°
,AD=BC=4,
∴NF=
x,AN=4﹣x,
∵AB=2,
∴AM=BM=1,
∵AE=
,AB=2,
∴BE=1,
∴ME=
∵∠EAF=45°
∴∠MAE+∠NAF=45°
∵∠MAE+∠AEM=45°
∴∠MEA=∠NAF,
∴△AME∽△FNA,
x=
∴AF=
14.(2018•湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:
“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?
”翻译成数学问题是:
如图所示,△ABC中,∠ACB=90°
,AC+AB=10,BC=3,求AC的长,如果设AC=x,则可列方程为 x2+32=(10﹣x)2 .
【分析】设AC=x,可知AB=10﹣x,再根据勾股定理即可得出结论.
设AC=x,
∵AC+AB=10,
∴AB=10﹣x.
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°
∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10﹣x)2.
x2+32=(10﹣x)2.
15.(2018•黄冈)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 20 cm(杯壁厚度不计).
【分析】将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【解