运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第2章PPT推荐.ppt
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,清华大学出版社,6,2.1.1问题的提出,用数学关系式描述这个问题,清华大学出版社,7,2.1.1问题的提出,得到本问题的数学模型为:
这就是一个最简单的线性规划模型。
清华大学出版社,8,2.1.1问题的提出,例2靠近某河流有两个化工厂(见图1-1),流经第一化工厂的河流流量为每天500万立方米,在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
图1-1,化工厂1每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米,化工厂2每天排放的工业污水为1.4万立方米。
从化工厂1排出的污水流到化工厂2前,有20%可自然净化。
根据环保要求,河流中工业污水的含量应不大于0.2%。
因此两个工厂都需处理一部分工业污水。
化工厂1处理污水的成本是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元/万立方米。
问:
在满足环保要求的条件下,每厂各应处理多少工业污水,使两个工厂处理工业污水的总费用最小。
清华大学出版社,9,2.1.1问题的提出,设:
化工厂1每天处理的污水量为x1万立方米;
化工厂2每天处理的污水量为x2万立方米,建模型之前的分析和计算,清华大学出版社,10,2.1.1问题的提出,得到本问题的数学模型为:
清华大学出版社,11,2.1.1问题的提出,每一个线性规划问题都用一组决策变量表示某一方案,这组决策变量的值代表一个具体方案。
一般这些变量的取值是非负且连续的;
都有关于各种资源和资源使用情况的技术数据,创造新价值的数据;
存在可以量化的约束条件,这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示;
都有一个达到某一目标的要求,可用决策变量的线性函数(称为目标函数)来表示。
按问题的要求不同,要求目标函数实现最大化或最小化。
上述两个问题具有的共同特征:
清华大学出版社,12,2.1.1问题的提出,决策变量及各类系数之间的对应关系,清华大学出版社,13,2.1.1问题的提出,线性规划模型的一般形式,清华大学出版社,14,2.1.2图解法,1.2图解法例1是一个二维线性规划问题,因而可用作图法直观地进行求解。
清华大学出版社,15,2.1.2图解法,目标值在(4,2)点,达到最大值14,清华大学出版社,16,2.1.2图解法,
(1)无穷多最优解(多重最优解),见图1-4。
(2)无界解,见图1-5-1。
(3)无可行解,见图1-5-2。
通过图解法,可观察到线性规划的解可能出现的几种情况:
清华大学出版社,17,2.1.2图解法,目标函数maxz=2x1+4x2,图1-4无穷多最优解(多重最优解),清华大学出版社,18,2.1.2图解法,图1-5-1无界解,清华大学出版社,19,当存在相互矛盾的约束条件时,线性规划问题的可行域为空集。
例如,如果在例1的数学模型中增加一个约束条件:
则该问题的可行域即为空集,即无可行解,,无可行解的情形,2.1.2图解法,清华大学出版社,20,图1-5-2不存在可行域,2.1.2图解法,清华大学出版社,21,2.1.3线性规划问题的标准型式,2.1.3线性规划问题的标准型式,清华大学出版社,22,2.1.3线性规划问题的标准型式,用向量形式表示的标准形式线性规划,线性规划问题的几种表示形式,清华大学出版社,23,2.1.3线性规划问题的标准型式,用矩阵形式表示的标准形式线性规划,清华大学出版社,24,2.1.3线性规划问题的标准型式,
(1)若要求目标函数实现最小化,即minz=CX,则只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化,即令z=z,于是得到maxz=CX。
(2)约束条件为不等式。
分两种情况讨论:
若约束条件为“”型不等式,则可在不等式左端加入非负松弛变量,把原“”型不等式变为等式约束;
若约束条件为“”型不等式,则可在不等式左端减去一个非负剩余变量(也称松弛变量),把不等式约束条件变为等式约束。
(3)若存在取值无约束的变量xk,可令,如何将一般线性规划转化为标准形式的线性规划,清华大学出版社,25,2.1.3线性规划问题的标准型式,例3将例1的数学模型化为标准形式的线性规划。
例1的数学模型在加入了松驰变量后变为,清华大学出版社,26,2.1.3线性规划问题的标准型式,例4将下述线性规划问题化为标准形式线性规划,
(1)用x4x5替换x3,其中x4,x50;
(2)在第一个约束不等式左端加入松弛变量x6;
(3)在第二个约束不等式左端减去剩余变量x7;
(4)令z=z,将求minz改为求maxz即可得到该问题的标准型。
清华大学出版社,27,2.1.3线性规划问题的标准型式,例4例4的标准型,清华大学出版社,28,2.1.4线性规划问题的解概念,1.可行解2.基3.基可行解4.可行基,清华大学出版社,29,2.1.4线性规划问题的解的概念,定义满足约束条件(1-5)、(1-6)式的解X=(x1,x2,xn)T,称为线性规划问题的可行解,其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
1.可行解,清华大学出版社,30,2.1.4线性规划问题的解的概念,2.基,基向量,基变量,清华大学出版社,31,2.1.4线性规划问题的解的概念,满足非负条件(1-6)的基解,称为基可行解.基可行解的非零分量的数目不大于m,并且都是非负的。
3基可行解,清华大学出版社,32,2.1.4线性规划问题的解的概念,对应于基可行解的基,称为可行基。
约束方程组(1-5)具有的基解的数目最多是个,一般基可行解的数目要小于基解的数目。
以上提到了几种解的概念,它们之间的关系可用图1-6表明。
说明:
当基解中的非零分量的个数小于m时,该基解是退化解。
在以下讨论时,假设不出现退化的情况。
4可行基,清华大学出版社,33,2.1.4线性规划问题的解的概念,不同解之间的关系,P552.1
(1),2.2
(1)(无需列初始单纯形表),作业,清华大学出版社,35,第2节线性规划问题的几何意义,2.2.1基本概念2.2.2几个定理,清华大学出版社,36,2.2.1基本概念,凸集凸组合顶点,清华大学出版社,37,2.2.1基本概念,定义设K是n维欧氏空间的一点集,若任意两点X
(1)K,X
(2)K的连线上的所有点X
(1)+
(1)X
(2)K,(01),则称K为凸集。
图1-7,1.凸集,清华大学出版社,38,2.2.1基本概念,实心圆,实心球体,实心立方体等都是凸集,圆环不是凸集。
从直观上讲,凸集没有凹入部分,其内部没有空洞。
图1-7中的(a)(b)是凸集,(c)不是凸集。
图1-2中的阴影部分是凸集。
任何两个凸集的交集是凸集,见图1-7(d),清华大学出版社,39,2.2.1基本概念,设X
(1),X
(2),X(k)是n维欧氏空间En中的k个点。
若存在1,2,k,且0i1,i=1,2,,k使X=1X
(1)+2X
(2)+kX(k)则称X为X
(1),X
(2),X(k)的一个凸组合(当0i1时,称为严格凸组合)。
2.凸组合,清华大学出版社,40,2.2.1基本概念,设K是凸集,XK;
若X不能用不同的两点X
(1)K和X
(2)K的线性组合表示为X=X
(1)+
(1)X
(2),(01)则称X为K的一个顶点(或极点)。
图中的0,Q1,Q2,Q3,Q4都是顶点。
3.顶点,清华大学出版社,41,2.2.2几个定理,定理1若线性规划问题存在可行域,则其可行域是凸集。
清华大学出版社,42,2.2.2几个定理,定理1的证明:
只需证明D中任意两点连线上的点必然在D内即可。
设是D内的任意两点;
且X
(1)X
(2)。
清华大学出版社,43,2.2.2几个定理,清华大学出版社,44,2.2.2几个定理,引理1线性规划问题的可行解X=(x1,x2,,xn)T为基可行解的充要条件是:
X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。
清华大学出版社,45,2.2.2几个定理,定理2线性规划问题的基可行解X对应于可行域D的顶点。
证:
不失一般性,假设基可行解X的前m个分量为正。
故现分两步来讨论,分别用反证法。
清华大学出版社,46,2.2.2几个定理,
(1)若X不是基可行解,则它一定不是可行域D的顶点。
根据引理1,若X不是基可行解,则其正分量所对应的系数列向量P1,P2,Pm线性相关,即存在一组不全为零的数i,i=1,2,m,使得1P1+2P2+mPm=0(1-9)用一个数0乘(1-9)式再分别与(1-8)式相加和相减,得(x11)P1+(x22)P2+(xmm)Pm=b(x1+1)P1+(x2+2)P2+(xm+m)Pm=b,清华大学出版社,47,2.2.2几个定理,因X不是可行域D的顶点,故在可行域D中可找到不同的两点X
(1)=(x1
(1),x2
(1),xn
(1)TX
(2)=(x1
(2),x2
(2),xn
(2)T使得X=X
(1)+
(1)X
(2),01设X是基可行解,对应的向量组P1Pm线性独立,故当jm时,有xj=xj
(1)=xj
(2)=0。
由于X
(1),X
(2)是可行域的两点,因而满足,
(2)若X不是可行域D的顶点,则它一定不是基可行解。
将两式相减,得,因X
(1)X
(2),所以上式中的系数不全为零,故向量组P1,P2,,Pm线性相关,与假设矛盾,即X不是基可行解。
清华大学出版社,48,2.2.2几个定理,引理2若K是有界凸集,则任何一点XK可表示为K的顶点的凸组合。
本引理的证明从略,用以下例子说明本引理的结论。
例5设X是三角形中任意一点,X
(1),X
(2)和X(3)是三角形的三个顶点,试用三个顶点的坐标表示X(见图1-8),图1-8,清华大学出版社,49,2.2.2几个定理,解:
任选一顶点X
(2),做一条连线XX
(2),并延长交于X
(1)、X(3)连接线上一点X。
因为X是X
(1)、X(3)连线上一点,故可用X
(1)、X(3)线性组合表示为X=X
(1)+
(1)X(3)01又因X是X与X
(2)连线上的一个点,故X=X+
(1)X
(2)01将X的表达式代入上式得到X=X
(1)+
(1)X(3)+
(1)X
(2)=X
(1)+
(1)X(3)+
(1)X
(2)令1=,2=
(1),3=
(1),得到X=1X
(1)+2X
(2)+3X(3)ii=1,0i1,清华大学出版社,50,2.2.2几个定理,定理3若可行域有界,则线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。
设X
(1),X
(2),X(k)是可行域的顶点,若X(0)不是顶点,且目标函数在X(0)处达到最优z*=CX(0)(标准型是z=maxz)。
因X(0)不是顶点,所以它可以用D的顶点线性表示为代入目标