高三数学一轮复习精品教案2指数与指数函数教学设计Word格式.docx
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（x＜0，y＜0）得（ ）
A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y
『解析』
＝2x2|y|＝－2x2y.
『答案』 D
3．（2013·
烟台模拟）函数y＝
的值域是（ ）
A．『0，＋∞）B．『0，4』
C．『0，4）D．（0，4）
『解析』 由题意得0≤16－4x＜16，
∴函数的值域是『0，4）．
『答案』 C
4．（2013·
三明模拟）当a＞0，且a≠1时，函数f（x）＝ax－2－3的图象必过定点________．
『解析』 ∵a0＝1，∴x－2＝0，即x＝2，此时，f
（2）＝－2，因此必过定点（2，－2）．
『答案』 （2，－2）
5．（2013·
安庆模拟）指数函数y＝（a2－1）x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．
『解析』 由题意知0＜a2－1＜1，∴1＜a2＜2，即1＜a＜
或－
＜a＜－1.
『答案』 （－
，－1）∪（1，
）
化简：
（1）
（a＞0，b＞0）；
（2）（－
）－
＋（0.002）－
－10（
－2）－1＋（
－
）0.
『思路点拨』 将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算．
『尝试解答』
（1）原式＝
＝a
＋
－1＋
b1＋
－2－
＝ab－1.
（2）原式＝（－
＋（
＋1
＝（－
＋500
＋2）＋1
＋10
－10
－20＋1＝－
.,
1．这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：
（1）必须同底数幂相乘，指数才能相加；
（2）运算的先后顺序．
2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
计算：
÷
；
（2）（0.027）－
－（
）－2＋（2
－1）0；
（3）已知m
＋m－
＝4，求
.
『解析』
（1）原式＝（a
a－
（a－
a
＝（a3）
（a2）
＝a÷
a＝1.
（2）原式＝（
－（7）2＋（
－1
－49＋
－1＝－45.
（3）∵m
＝4，∴m＋m－1＋2＝16，
∴m＋m－1＝14，
∴
＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
已知f（x）＝|2x－1|，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）比较f（x＋1）与f（x）的大小；
（3）试确定函数g（x）＝f（x）－x2零点的个数．
『思路点拨』
（1）作出f（x）的图象，数形结合求解．
（2）在同一坐标系中分别作出f（x）、f（x＋1）图象，数形结合求解．
（3）在同一坐标系中分别作出函数f（x）与y＝x2的图象，数形结合求解．
『尝试解答』
（1）由f（x）＝|2x－1|＝
可作出函数的图象如图．因此函数f（x）在（－∞，0）上递减；
函数f（x）在（0，＋∞）上递增．
（2）在同一坐标系中分别作出函数f（x）、f（x＋1）的图象，如图所示．
由图象知，当|2x0＋1－1|＝|2x0－1|时，解得x0＝log2
，两图象相交，从图象可见，当x＜log2
时，f（x）＞f（x＋1）；
当x＝log2
时，f（x）＝f（x＋1）；
当x＞log2
时，f（x）＜f（x＋1）．
（3）将g（x）＝f（x）－x2的零点转化为函数f（x）与y＝x2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f（x）＝|2x－1|和y＝x2的图象如图所示，有四个交点，故g（x）有四个零点．
1．指数型函数的图象与性质（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．
2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．
若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|（a＞0，a≠1）的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
『解析』 分底数0＜a＜1与a＞1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图：
从图中可以看出，只有当0＜a＜1，且0＜2a＜1，
即0＜a＜
时，两函数才有两个交点．
所以实数a的取值范围为{a|0＜a＜
}.
（1）函数f（x）＝（
）－x2－4x＋3的单调递减区间为________，值域为________．
（2）（2013·
黄冈模拟）已知f（x）＝（
）x3（a＞0且a≠1）．
①讨论f（x）的奇偶性；
②求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．
『思路点拨』
（1）根据复合函数的单调性求解．
（2）先求函数的定义域，再判断奇偶性；
对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x＞0的情况．
『尝试解答』
（1）令g（x）＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7，由于g（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，而y＝（
）t在R上为单调递减，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减．又g（x）＝－（x＋2）2＋7≤7，∴f（x）≥（
）7＝3－7.
『答案』 （－∞，－2） 『3－7，＋∞）
（2）①由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}．
对于定义域内任意x，有
f（－x）＝（
）（－x）3＝（
）（－x）3
＝（－1－
）x3＝f（x）．
∴f（x）是偶函数．
②由①知f（x）为偶函数，
∴只需讨论x＞0时的情况．
当x＞0时，要使f（x）＞0，即（
）x3＞0，
即
＞0，即
＞0，
即ax－1＞0，ax＞1，ax＞a0.又∵x＞0，∴a＞1.
因此a＞1时，f（x）＞0.
1．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x＞0时的情况．
（2013·
金华模拟）已知函数f（x）＝
（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性．
『解析』
（1）f（x）的定义域是R，令y＝
，得ax＝－
∵ax＞0，∴－
＞0，解得－1＜y＜1，
∴f（x）的值域为{y|－1＜y＜1}．
（2）∵f（－x）＝
＝－f（x），
∴f（x）是奇函数．
（3）f（x）＝
＝1－
设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝
∵x1＜x2，∴当a＞1时，ax2＞ax1＞0，
从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＜0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），f（x）为R上的增函数，当0＜a＜1时，ax1＞ax2＞0，
从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0，
∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），f（x）为R上的减函数．
一种关系
分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
两点注意
1.指数函数的单调性取决于底数a的大小，因此解题时通常对底数a按：
0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．
2．换元时注意换元后“新元”的范围．
三个关键点
画指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：
（1，a），（0，1），（－1，
）．
从近两年高考看，本节多以指数函数为载体，考查指数运算和指数函数的图象与性质的应用；
题型以选择题、填空题为主，中低档难度，预计2014年仍延续这一特点，对指数函数与二次函数结合的题目，重点注意参数的计算与比较大小．
思想方法之三 构造法在指数幂大小比较中的应用
（2012·
天津高考）已知a＝21.2，b＝（
）－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c<
b<
a B．c<
a<
b
C．b<
cD．b<
c<
『解析』 b＝（
）－0.8＝20.8<
21.2＝a，c＝2log52＝log522<
log55＝1<
20.8＝b，故c<
a.
『答案』 A
易错提示：
（1）对a和b没有化为同底的意识，造成思维受阻．
（2）不能合理的构造函数或找不到恰当的中间量而盲目作答，造成误解．
防范措施：
（1）比较幂的大小时，若底数不同，首先看能否化为同底；
（2）不能用函数的单调性比较大小的，一般要找中间量比较．
1．（2012·
山东高考）若函数f（x）＝ax（a>
0，a≠1）在『－1，2』上的最大值为4，最小值为m，且函数g（x）＝（1－4m）
在『0，＋∞）上是增函数，则a＝________．
『解析』 若a>
1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝
，此时g（x）＝－
为减函数，不合题意．若0<
1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝
，m＝
，检验知符合题意．
『答案』
2．（2012·
上海高考）方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．
『解析』 法一 原方程4x－2x＋1－3＝0可化为（2x）2－2·
2x－3＝0，即（2x－3）（2x＋1）＝0，由于2x＞0，x∈R，
∴2x－3＝0，即x＝log23.
法二 令t＝2x，则t＞0，原方程可化为t2－2t－3＝0，
解得t＝3或t＝－1（舍去），即2x＝3，∴x＝log23.
『答案』 log23
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