精品新人教版A版高考数学理科一轮复习13 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词优质课教案.docx

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精品新人教版A版高考数学理科一轮复习13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词优质课教案

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．简单的逻辑联结词

了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2．全称量词与存在量词

（1）理解全称量词与存在量词的意义．

（2）能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

知识点一　简单的逻辑联结词

1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．

2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．

3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．

4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：

p∧q中p，q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．

必备方法　逻辑联结词与集合的关系

“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

[自测练习]

1．（2015·枣庄模拟）如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则（　　）

A．命题q一定是真命题

B．命题p不一定是假命题

C．命题q不一定是真命题

D．命题p与命题q真假相同

解析：

由綈p是真命题，则p为假命题．又p∨q是真命题，故q一定为真命题．

答案：

A

知识点二　全称量词与存在量词

1．全称量词与全称命题

（1）短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示．

（2）含有全称量词的命题，叫作全称命题．

（3）全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：

∀x∈M，p（x），读作“对任意x属于M，有p（x）成立”．

2．存在量词与特称命题

（1）短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示．

（2）含有存在量词的命题，叫作特称命题．

（3）特称命题“存在M中的一个x0，使p（x0）成立”可用符号简记为∃x0∈M，P（x0），读作“存在M中的元素x0，使p（x0）成立”．

3．含有一个量词的命题的否定

命　题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，綈p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

易误提醒　

（1）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．

（2）p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．

必备方法　不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

[自测练习]

2．（2015·郑州预测）已知命题p：

∀x>2，x3－8>0，那么綈p是（　　）

A．∀x≤2，x3－8≤0B．∃x>2，x3－8≤0

C．∀x>2，x3－8≤0D．∃x≤2，x3－8≤0

解析：

本题考查全称命题的否定．依题意，綈p是“∃x>2，x3－8≤0”，故选B.

答案：

B

3．下列命题为真命题的是（　　）

A．∃x0∈Z,1<4x0<3

B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0

C．∀x∈R，x2－1＝0

D．∀x∈R，x2＋x＋2>0

解析：

1<4x0<3，

，这样的整数x0不存在，故A为假命题；5x0＋1＝0，x0＝－

∉Z，故B为假命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题；对任意实数x，都有x2＋x＋2＝

2＋

>0，故D为真命题．

答案：

D

考点一　含有逻辑联结词的命题的真假判断|

1．（2016·石家庄一模）命题p：

若sinx>siny，则x>y；命题q：

x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是（　　）

A．p或qB．p且q

C．qD．綈p

解析：

取x＝

，y＝

，可知命题p不正确；由（x－y）2≥0恒成立，可知命题q正确，故綈p为真命题，p或q是真命题，p且q是假命题，故选B.

答案：

B

2．给定下列三个命题：

p1：

函数y＝ax＋x（a>0，且a≠1）在R上为增函数；

p2：

∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0；

p3：

cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β（k∈Z）．

则下列命题中的真命题为（　　）

A．p1∨p2B．p2∧p3

C．p1∨綈p3D．綈p2∧p3

解析：

对于p1：

令y＝f（x），当a＝

时，f（0）＝

0＋0＝1，f（－1）＝

－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：

a2－ab＋b2＝

2＋

b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：

由cosα＝cosβ，可得α＝2kπ±β（k∈Z），所以p3是真命题，所以綈p2∧p3为真命题，故选D.

答案：

D

判断一个含有逻辑联结词的命题的真假的三个步骤

（1）判断复合命题的结构；

（2）判断构成这个命题的每个简单命题的真假；

（3）依据含有“或”、“且”、“非”的命题的真假判断方法，作出判断即可．

考点二　全称命题与特称命题真假判断|

1．下列命题中，真命题是（　　）

A．存在x0∈R，sin2

＋cos2

＝

B．任意x∈（0，π），sinx>cosx

C．任意x∈（0，＋∞），x2＋1>x

D．存在x0∈R，x

＋x0＝－1

解析：

对于A选项：

∀x∈R，sin2

＋cos2

＝1，故A为假命题；对于B选项：

存在x＝

，sinx＝

，cosx＝

，sinx

x2＋1－x＝

2＋

>0恒成立，C为真命题；对于D选项：

x2＋x＋1＝

2＋

>0恒成立，不存在x0∈R，使x

＋x0＝－1成立，故D为假命题．

答案：

C

2．下列命题中，真命题是（　　）

A．∃m0∈R，使函数f（x）＝x2＋m0x（x∈R）是偶函数

B．∃m0∈R，使函数f（x）＝x2＋m0x（x∈R）是奇函数

C．∀m∈R，函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）都是偶函数

D．∀m∈R，函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）都是奇函数

解析：

由于当m＝0时，函数f（x）＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m0∈R，使函数f（x）＝x2＋m0x（x∈R）为偶函数”是真命题．

答案：

A

全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称

真假

判断方法一

判断方法二

全称命题

真

所有对象使命题真

否定为假

假

存在一个对象使命题假

否定为真

考点三　利用命题的真假求参数范围|

　（2015·高考山东卷）若“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

[解析]　由已知可得m≥tanx

恒成立．设f（x）＝tanx

，显然该函数为增函数，故f（x）的最大值为tan

＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.

[答案]　1

根据命题真假求参数的方法步骤

（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；

（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

已知命题p：

∃m∈R，m＋1≤0，命题q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题．则实数m的取值范围为________．

解析：

易知命题p为真命题，

若命题q为真命题，则Δ＝m2－4<0，

即－2

当p∧q为真时，有

∴－2

∴p∧q为假时，

m的取值范围为{m|m≤－2，或m>－1}．

答案：

（－∞，－2]∪（－1，＋∞）

　　2.全称命题的否定不当致误

【典例】　设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则（　　）

A．綈p：

∀x∈A,2x∉BB．綈p：

∀x∉A,2x∉B

C．綈p：

∃x∉A,2x∈BD．綈p：

∃x∈A,2x∉B

[解析]　“∀x∈A”的否定为“∃x∈A”，“2x∈B”的否定为“2x∉B”，故原命题的否定为“∃x∈A,2x∉B”，故选D.

[答案]　D

[易误点评]　此类题目常易犯下列三种错误：

（1）否定了结论，并没有否定量词．

（2）否定了条件与结论，没有否定量词．

（3）否定了条件，没有否定结论．

[防范措施]　

（1）弄清楚是全称命题还是特称命题，尤其是省略了量词的命题．

（2）全（特）称命题的否定应从两个方面着手：

一是量词变化，“∀”与“∃”互换；二是否定命题的结论，但不是否定命题的条件．

[跟踪练习]　（2015·高考全国卷Ⅰ）设命题p：

∃n∈N，n2>2n，则綈p为（　　）

A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n

解析：

命题p是一个特称命题，其否定是全称命题，故选C.

答案：

C

A组　考点能力演练

1．已知命题p：

∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≥0，则綈p是（　　）

A．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

B．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

C．∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0

D．∀x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0

解析：

綈p：

∃x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0.

答案：

C

2．已知命题p：

∃x∈R，x2－3x＋4≤0，则下列说法正确的是（　　）

A．綈p：

∃x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为真命题

B．綈p：

∃x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为假命题

C．綈p：

∀x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为真命题

D．綈p：

∀x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为假命题

解析：

因为x2－3x＋4＝

2＋

≥

，所以命题p为假命题，所以綈p：

∀x∈R，x2－3x＋4>0，且綈p为真命题，故选C.

答案：

C

3．（2016·珠海一模）命题p：

的值不超过2，命题q：

是无理数，则（　　）

A．命题“p或q”是假命题

B．命题“p且q”是假命题

C．命题“非p”是假命题

D．命题“非q”是真命题

解析：

因为

≈2.236>2，故p为假命题，

是无理数，故q是真命题，由复合命题的真假判断法则可知B正确．

答案：

B

4．下列选项中，说法正确的是（　　）

A．命题“∃x∈R，x2－x≤0”的否定是“∃x∈R，x2－x>0”

B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件

C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题

D．命题“在△ABC中，若sinA<

，则A<

”的逆否命题为真命题

解析：

A中命题的否定是：

∀x∈R，x2－x>0，故A不对；B中当p为假命题、q为真命题时，p∨q为真，p∧q为假，故B不对；C中当m＝0时，a，b∈R，故C的说法正确；D中命题“在△ABC中，若sinA<

，则A<

”为假命题，所以其逆否命题为假命题．故选C.

答案：

C

5．（2016·太原模拟）已知命题p：

∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：

∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨（綈q）为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）∪（2，＋∞）B．[0,2]

C．RD．∅

解析：

若p∨（綈q）为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m

答案：

B

6．命题“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1|>3”的否定是________．

解析：

本题考查了特称命题与全称命题．命题“存在x∈R，使得|x－1|－|x＋1