第五章微分方程模型Word文档格式.docx
《第五章微分方程模型Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章微分方程模型Word文档格式.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
1传染病模型
建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.
考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N,既不考虑生
死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.
一.SI模型
假设条件：
1、人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类人，简称为健康人和病人，在时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作st和
it.
1.当i
12时，
竺取到最大值
dt
di
，此时刻为
m
.1［1彳
tmln—1
i0
2.当t时，i1即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）
二.SIS模型
在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、
痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，
健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS模型.
假设1、2同SI模型，增加假设：
解得
1
io
t
［结果分析］1.令
均人数，称为接触数•
当1时，病人比例it越来越小，最终趋于零•
当1时，it的增减性取决于io的大小，其极限值i1.
3.SI模型是sis模型中0的情形•
三.SIR模型
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，
所以病愈的人既非健康者，也非病人，他们已经退出传染系统，此时模型的假设为
1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR模型•三类人在
总人数N中占的比例分别记作si、it和rt.
2.病人的日接解率为，日治愈率为（与SIS模型相同），传染期接触数
为=
解：
由假设1,有
stit
rt
ds
1—dt
didr
一——0dtdt
由假设
2，得N
drdt"
NiNd
siNiN
dr
i
dtdidt
si
又设s
0s°
i0i°
，r0
于是
didt
⑵
i0
i0,
s
S°
我们在相平面上来讨论解的性质•
相轨线的定义域为
D
s,i
0,i
0,si1
由⑵式消去dt
得
di1
c
is
这里
/
sso
解得i
Soi
-s
丄肿
⑶
in
在疋乂域D内，
（3）式表示的曲线即为相轨线.
3正规战与游击战
此战争模型是第一次世界大战期间.F.W.Lanchester提出来的，是一个
预测战争结局的数学模型，它包括正规战争、游击战争和混合战争
Lanchester战争模型很简单，只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战争减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加，战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率（单位时间的射击次数），射击命中率以及战
争的类型（正规战、游击战）等有关，而没有考虑双方的政治、经济、社会等因素，此模型对于判断整个战争的结局是不可能的，但对于局部战役或许还有参考价值.
一般战争模型
用xt和yt表示甲乙交战双方时刻t的兵力，不妨视为双方的士兵人
数，假设
1.xt、yt是连续变化且充分光滑；
2.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力（战争减员率指单位时间
内的战斗减员数），分别用fx,y和gx,y表示；
3.每一方的非战争减员率（单位时间内非战斗减员数）（由疾病、逃跑等因素
引起）与本方的兵力成正比，比例系数分别为、；
4.每一方的增援率（单位时间的增援数）是给定的函数，用Ut和Vt表示.
考虑t到tt内甲、乙双方兵力数的增量，得到
xttxtfx,yxutt
yttytgx,yyvtt
除以t,并令t0，得
—fx,yxut0
dt
（1）
dy.
-7gx,yyvt0
正规战争模型
双方都处于公开活动，对于甲方士兵，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤
范围.一旦甲方某个士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以
甲方战斗减员率只与乙方兵力有关，可简单地设为f与y成正比，即fay.
a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位时间的杀伤数），称
乙方的战斗有效系数•a可进一步分解为arypy，其中ry是乙方的射击率
（每个士兵单位时间的射击次数），py是每次射击的命中率.
类似地有gbx且brxpx.
于是得到如下正规战争模型：
dx
ayxut
dt⑵
业bxyvt
简化的情形：
忽略非战斗减员，并设双方都没有增援，又设双方的初始兵力分别为xo、
yo，则
lxay
dtcc
x0Xo,y0yo（3）
业bx
在相平面上讨论相轨线：
dybxdxay
游击战争模型
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区域内活动，乙方士
兵不是向甲方士兵开火，而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况，
此时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增加而增加•
在有限区域内，士兵越多，被杀伤的就越多，于是可简单地假设为fcxy.
Sry
且CryPyry.
Sx
其中ry为射击率，Py为命中率，Sry为有效面积，Sx为甲方活动面积
类似地gdxy,drxPxrx宝.
Sy
于是得到如下游击战争模型：
dxdtdydt
cxyxutdxyyvt
并设u
v0在初始条件下（
5）式为
dxdtx0
dyCXy，dtXo,yo
dxy
Ye
dy
cy
dxm,mcy0
dxo
其相轨线是直线族.
rySrySy
此模型称为线性律模型・
Xo
混合战争模型
甲方为游击部队，乙方为正规部队
根据前面二、三的分析和假设，得到
—cxydt
dybxdt
xOXo,yO
它的相轨线为
cy2bxn
ncyo2bxo
它是抛物线.
yo
°
：
=>
2b（用brxPx、c口为代
CXoSx
入）/I-yo2rxPxSx
■~XqrySryXo
得到yoxo10.
硫磺岛战役
J.H.Engel用二次大战末期美日硫磺岛战役中美军战场记录，对正规战争
模型进行了验证，发现模型结果与实际数据吻合得很好
硫磺岛位于东京以南660英里的海面上，是日军的重要空军基地，美军在1945年2月19日开始进攻，激烈的战斗持续了一个多月，双方伤亡惨重，日方守军21,500人全部降亡或被俘，美方投入兵力73,000人，伤亡20,265
人.战争进行到28天时美军宣布占领该岛，实际战斗到36天才停止.
用At、Jt表示美军和日军第
t天的人数，在正规战争模型中，忽略
非战斗减员且v0，再加上初始条件，得
dAdt
aJt
ut
dJ
bAt
A0
0,J0
21,500
教学基本内容、
过程、学时分配；
54,000
0t1
6,000
2t3
美军增援率为
W丿
13,000
5t6
其它
已知A36
52,735、J360
并利田美军每天
（实际）伤亡人数
，并利用美军每天
36
算出At,
A2,037,000，求出
a,b•
从而算出
J1,J2,,J
36以及A1,A2,
A36（理论值）
•对（6）式用求和
代替积分，得
At
aJ
u
（8）
Jt
J0
bA
（9）
J0J
h
nnihr
b36
U.0I06•
A
2,037,000
于是由（9）得到
J1,
J2,,J36.
uA36
a
20,2650.0544.
Oft
J
372,500
于是At0.0544
Ju
11
由此得到A
t的理论值•
作业：
P174ex4
第7周，第2次课
第5章微分方程模型5.4药物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作
用
通过建模案例，让学
升级会员 