江西九江高考数学一模理解析版Word格式.docx
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【详解】解:
∵
,∴
B.
3.若
【分析】利用二倍角的余弦公式化简并利用平方关系,然后将弦化切计算即可.
【详解】由
又
所以
D
4.
展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该项系数是()
A.280B.240C.192D.160
【分析】利用二项式系数性质得到
,再利用通项公式得到结果.
依题意得
,∴该项系数是
故选:
5.如图八面体中,有公共边的两个面称为相邻的面,若从八个面中随机选取两个面,则这两个面不相邻的概率为()
【答案】C
【分析】求出两个面相邻的取法数可得不相邻的取法数,再求得总的取法数后,由概率公式计算.
从八个面中随机选取两个面有
种,其中两个面相邻的有12种,则这两个面不相邻的概率为
C.
【点睛】关键点点睛:
本题考查求古典概型,解题关键是求得两个面不相邻的方法数,方法是“正难则反”的思想,即求出相邻面的方法数与总方法数结合即可得.
6.公元前3世纪,古希腊数学家阿基米德研究过自然数的平方和,并得到公式
,执行如下所示的程序.若输出的结果为7,则判断框
中的实数
C.
【分析】由已知中的程序语句可知:
该程序的功能是利用循环结构计算
的值并输出变量
的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
可得判断框
.
7.已知
的大小关系为()
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性直接求解.
因为函数
,在
上单调递减,且
,又因为
,即
8.已知抛物线
:
的焦点为
,其准线与
轴的交点为
为抛物线
上的点,若
A.2B.
C.4D.
【分析】求出
外接圆方程,与抛物线方程联立得到
点坐标,即可得到结果.
【详解】设
外接圆的半径为
,由正弦定理得
∴
,由对称性,不妨设
在第一象限,
则
外接圆方程为
联立方程组
消去
整理得
A.
抛物线的通径长为
,焦准距为
,当
轴时,
为等腰直角三角形,满足题意.
9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
【分析】作出几何体的直观图,可知几何体是过圆柱的中心的截面截圆柱所得几何体,可知几何体的体积为圆柱体积的一半,利用柱体体积公式可求得结果.
【详解】该几何体的直观图如图所示,可知几何体是过圆柱的中心的截面截圆柱所得几何体,
且几何体的体积为圆柱体积的一半,圆柱的底面半径为
,高为
所以,该几何体的体积为
,
10.已知函数
有三个相邻的零点
的值为()
A.−1B.
D.1
【分析】利用正弦曲线的特点,由三个相邻零点判断周期,求出
再利用
的中点,得到对称轴求出
,代入一个零点即可得到
的值.
【详解】因为三个相邻的零点
,得
A
11.如图,正
的边长为1,
为扇形
内一点(包括边界),则
【分析】建立如图所示的直角坐标系,得
,设
,求出
,利用正弦函数的性质和不等式性质可得所求范围.
【详解】如图,建立平面直角坐标系,则
设
本题考查平面向量的数量积,解题关键是建立坐标系后设出
点坐标,用坐标求出数量积,转化为利用三角函数与不等式的性质求解.
12.已知双曲线
的左右焦点分别为
为双曲线
上一点,在以
为圆心,1为半径的圆上,总存在一点
,使得
得,
在以
为圆心,
为半径的圆上,即圆
与圆
有公共点,由两圆位置关系可得
的范围.
有公共点,
,又
二、填空题
13.已知函数
,则曲线
在点
处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】求出函数的导函数,即可求出切线的斜率,再利用点斜式求出切线方程;
∴曲线
处的切线方程为
故答案为:
14.在
中,已知
___________.
【分析】由正弦定理化角为边,然后由余弦定理求得角
由正弦定理得
,由余弦定理
即
15.如图,正四棱锥
内接于半球
(
位于半球的底面圆周上,点
位于半球的表面上),已知半球
的半径为
,则过
三点的平面截半球所得截面图形的面积为___________.
【分析】首先易得
是边长为
的正三角形,再得出截面形状为圆心角为
,半径为1的扇形,顶角为
,腰为1的等腰三角形,求出面积即可.
【详解】由于球的半径为
的正三角形,
外接圆的半径满足
故所求截面图形为圆心角为
,腰为1的等腰三角形,
故其面积为
16.已知函数
是定义在
上的连续单调函数,若
,则不等式
的解集为___________.
【分析】令
,然后求出
的解析式,然后利用其单调性解出不等式即可.
【详解】∵
上的连续单调函数,∴存在唯一
故令
令
在
上单调递增,且
,故
上单调递增,
三、解答题
17.已知数列
的前
项和为
,满足
,记
(1)求数列
的通项公式;
(2)求数列
项和
(1)
;
(2)
【分析】
(1)依题意可得
,作差即可得解;
(2)由
(1)得
,再利用错位相减法求和即可;
(1)由
两式相减得
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加:
用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.
(2)错位相减:
用于等差数列与等比数列的积数列的求和.
(3)分组求和:
用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.
18.如图,四边形
是边长为2的菱形,
分别为
的中点,将
和
沿着
折起,使得平面
和平面
均垂直于平面
(1)求证:
平面
(2)求二面角
的余弦值.
(1)证明见解析;
(1)连接
由已知可得
,且
,所以四边形
为平行四边形,得
,再由线面平行的判定定理可得答案;
(2)分别以
为
的正半轴建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量,再由向量的夹角公式可得答案.
【详解】
为正三角形,又
的中点,∴
又平面
同理
∴四边形
为平行四边形,∴
的正半轴建立空间直角坐标系,
设平面
的法向量为
,令
,即二面角
的余弦值为
【点睛】本题考查了线面平行的判断、二面角的向量求法,解题的关键点是记录空间直角坐标系,考查了学生的空间想象能力和计算能力.
19.已知椭圆
的左右顶点分别为
,右焦点
,过
的直线
与椭圆
交于
两点,且
面积是
面积的3倍.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)若直线
与直线
分别交于
两点,试问:
以
为直径的圆是否过定点?
若是,求出定点坐标;
若不是,说明理由.
(2)过定点,定点
(1)将两个条件转化为关于
的方程,即可求解;
(2)设直线
,与椭圆方程联立,得韦达定理,
,并表示直线
的方程,并求得点
的坐标,写出以
为直径的圆的方程,由对称性确定,若有定点,则定点在
轴,即令圆的的方程中
,求
的值,即得定点坐标.
(1)∵
面积的3倍,∴
解得
故椭圆
的标准方程为
(2)依题意可设
,消去
直线
的方程为
,同理
∴以
为直径的圆的方程为
由对称性可知,若以
为直径的圆过定点,则定点在
轴上,
化简得
或
故以
为直径的圆过定点
【点睛】方法点睛:
解决存在性问题的注意事项:
(1)存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在;
(2)当条件和结论不唯一时,要分类讨论;
(3)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;
(3)当条件和结论都未知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径。
20.某公司响应国家“节能减排,低碳经济”号召,鼓励员工节约用电,制定奖励政策,若公司一个月的总用电量低于30万
,将对员工们发放节能奖励,该公司为了了解9月份日最高气温对当天用电量的影响,随机抽取了去年9月份7天的日最高气温x(℃)和用电量y(万
)数据,并计算得
,气温方差
,用