数学建模报告.docx
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数学建模报告
数学建模报告
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2011年1月1日
客房预定的价格和数量问题
摘要：
预订客房是信息时代发展的必然趋势。
在预订过程中，宾馆经营者要关注价格的预测、饭店超额预订等问题。
本文就客房价格调整，以及预定策略，站在经营者的角度给出了建议。
针对问题1，建立模型Ⅰ，首先对数据进行整合、处理，然后用MATLAB进行多项式拟合，求出出客房价格的规律曲线，并利用时间序列有关知识，就可以预测出2010年每月的客房价格。
针对问题2着重就关于宾馆客房超额预订的问题，给出适当的假设，建立超额预订时宾馆客房循环一天的利润模型，利用二项分布对此模型进行求解、讨论和验证。
通过宾馆利润的期望值的分析，可以对经营者给出预定策略的建议。
关键词:
价格预测超额预定多项式拟合时间序列二项分布期望
1.问题的重述
1.1问题的基本情况和要求
某著名的旅游景区中的宾馆主要提供举办会议和游客使用。
客房通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。
宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客人，另一方面要降低客人取消预定遭受的损失。
为此，宾馆采用一些措施。
首先，要求客房提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。
如果客人在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。
其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说旅游旺季价格比较高，淡季价格略低。
1.2需要解决的问题
问题1根据宾馆2005年10月-2010年3月期间每月标准间平均价格，用模型说明价格变动规律，并估计未来一年内的标准房参考价格。
问题2在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数,以减低客人取消预定时宾馆的损失。
当有超出客房数的客人出现时宾馆可以通过宾馆升级客房档次或赔款来解决纠纷,为此宾馆还会承担信誉风险。
试为该宾馆制定合理的预定策略,并论证你的理由。
2.问题的分析
2.1问题1的分析
对于问题1，对标准房参考价格的预测是宾馆的一项重要内容，问题1就要求根据前四年的价格变化来预测2010年标准房的参考价格。
为此我们将四年的价格变化分别用图像表示，发现其变化大概趋势具有一致性。
对数据进行处理，用拟合的知识和一些常识，得到了所需的数据。
在拟合中首先用拟合函数的曲线和原始数据的散点图进行对比，观察其偏离度，从宏观上进行判断拟合效果，进一步确定了拟合函数的准确性，从而根据拟合函数可预测到2010年每月的客房价格。
2.2问题2的分析
宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。
如果每天只预定620间客房，那么由于种种原因，客人可能会临时取消，改变预定或者提前离店等。
这样会造成部分客房闲置，为减少或避免发生这种现象给宾馆造成的损失，充分利用客房，提高出租率，因此宾馆可以有意识地使所接受的客房预订数超过其客房接待能力，以弥补客人不到或临时取消而出现缺额的预定管理措施。
然而超额预定有可能使某些订了房间的客人无法入住，此时宾馆要付给他们一定的补贴或升级客房，我们要确定的是超额预定房间数多少时能够保持在一个既能满足预定客人需求，又能保证宾馆利益的适宜限度之内。
3模型的假设
（1）旅游旺季，宾馆没有套房空闲。
若出现超出客房数的客人，宾馆只能通过赔款来解决纠纷。
（2）假设赔款与相应套房价格比值相同，设为λ。
（3）假设客户于前一天中午以前取消预定的概率相同设为q。
（4）客人是否取消预定是相互独立的。
（5）f1,f2,f3分别为该宾馆总统套房、豪华套房、标准间循环一天的费用（包括客房的清洁和保养费用，客房的设备，管理费，以及支付给服务员的工资等），假设f1,f2,f3是常数。
（6）假设没有客人在前一天中午之后才取消预定。
（7）假设总统套房、豪华套房、标准间一天的利润是相互独立的。
4符号的定义和说明
Pk（k=0,1,2…）：
k个客户于前一天中午以前取消预定的概率
λ：
赔款与预定套房的价格比值，由假设
（2）知，λ为常数
a1:
总统套房一天的价格，常数
a2:
豪华套房一天的价格，常数
a3:
标准间一天的价格，常数
q:
客户于前一天中午以前取消预定的概率，由假设（3）知，q为常数
b1,b2,b3:
分别为总统套房、豪华套房、标准间可预定的客房数。
由题目所给数据，b1为20，b2为100，b3为500。
f1,f2,f3:
分别为该宾馆总统套房、豪华套房、标准间循环一天的费用，由假设（5）可知，f1,f2,f3为常数。
S1,S2,S3:
分别为该宾馆总统套房、豪华套房、标准间一天的利润。
m1,m2,m3:
分别为该宾馆实际预定的总统套房、豪华套房、标准间的套数。
k:
预定套房后，在前一天中午以前取消预定的客人数。
5问题模型的建立与求解
5.1问题一模型的建立与求解
模型Ⅰ
首先根据题目所给的数据，我们用EXCEL作出05年10月到10年3月价格变化的折线图。
（图1）
通过以上图像可以发现：
每一年的客房价格的波动大致上是相同的，那么我们只要找出一年内价格波动的规律，就可以对每一年客房的月平均价格做出预测。
以下，我们用MATLAB作出06年到09年这四年的客房价格波动的折线图，并进行对照。
（图2）
从上图可以再一次肯定，每一年的价格波动规律大致上是相同的。
考虑到价格变动的不确定性，我们取这4年的对应月份客房价格的平均值，对这些数据进行多项式拟合处理，就可以得到一个与总体数据拟合度较高的函数。
而这一个函数，只需调整常数项就可以刻画每一年客房价格的变化。
我们取的这一组数据是：
（表1）
然后我们用MATLAB对该组数据进行四次多项式拟合，进行观察。
（图3）
由图像上所得：
六月份，八月份，以及十月份的数据点的拟合程度不理想。
考虑理念价格波动规律，我们可以认为六月份由于是淡季，所以客房价格应比预期要低；八、十月份是旺季，所以价格应适当调高。
所以，我们对数据进行处理希望得到一组拟合度较好的数据。
具体方法是：
在原数据的基础上，六月份的客房价格调高45元，八、十月份的客房价格调低45元。
调整后的数据如下：
（表2）
对该组数据用MATLAB再次进行四次多项式拟合：
（图4）
得到对应的函数式为：
F（x）=-0.0121x4+0.2018x3-3.4773x2+41.6113x+296.6667
经处理的数据与所计算出的函数拟合程度较好。
对于较特殊的三个月份，在预测的时候，我们先用所求的函数式求出对应月份的价格，再还原调整数据时作出的改动（即在所得结果中，把六月份的值减45，八、十月份的值加45），就可以得到较准确的预测值了。
因为2010年前三个月的数据已给出，我们可以根据给出的数据，调整函数的常数项，使之与数据对应，然后就可以求出2010年四月到十二月的客房价格预测值。
预测过程如下：
由前三月的数据，2010年价格波动对应的函数式应为
F（x）=-0.0121x4+0.2018x3-3.4773x2+41.6113x+352
代入数据，并还原调整数据时作出的改动，就可以得到2010年客房价格的预测值：
对应的折线图如下：
（图5）
接下来，我们把预测值与题目给出的数据组合在一起，用EXCEL做出折线图如下：
（图6）
从直观上看，我们预测的客房价格波动大体符合了前几年的波动规律，所以预测值是有一定的可信度的。
5.2问题二模型的建立与求解
5.21模型的建立
宾馆所得的利润公式为：
5.22模型的求解
由假设（7）可知，该宾馆的三类套房的数学期望值为E（S1），E（S2），E（S3）
利润期望值与相应客房费用之比是衡量宾馆各类套房经济效益的指标。
所以
在已知常数，q,，的条件下，通过求的最大值，就可求出相应的，，。
则，，分别为该宾馆总统套房、豪华套房、标准间的合理预定套数。
根据实际资料和参考文献，我们令宾馆赔款与相应套房价格的比值为0.2。
则套房的费用=0.6，=0.5，=0.5，q=0.05。
由计算可得，=22时，max=0.6394
=103时，max=0.95180.1803
即至少有一个预定套房的客人没得到套房的概率为0.1803。
=508时，max=0.930160.04699
即至少有一个预定客房的客人没得到客房的概率为0.04699。
所以，在已知常量=0.6，=0.5，=0.5，q=0.05时，宾馆总统套房、豪华套房、标准间的合理预定套数分别为22套，103套，508套。
若实际已知量与假设不符，则只需修改对应数据，重新计算即可。
6.模型的评价
模型的优点
（1）模型1是根据现有的数据资料设置变量，各变量之间关系明确。
模型1重点是分析规律和进行预测。
因为已知数据受很多随机因素的影响，规律性受到干扰，所以其变化情况不能较好地表现总体的规律性，进而不能对每月的客房价格进行准确的预测；针对这个问题，我们对已知数据进行了统计平均，从总体的平均规律入手，没有局限于仅对现有数据模拟。
从前面求解方程得到的图形结果来看，得到的曲线较好地代表了现有数据的总体变化规律。
（2）模型2求解时,用利润期望值与客房费用之比来衡量宾馆套房资源利用效率状况,具有很强的科学性和现实性。
（3）推广容易。
模型1、2运用了数据拟合和概率与数理统计的方法用来具体解决实际问题，具有较强的推广价值。
如模型1、2可以推广到机票价格的预测和机票的预订等实际生活问题中去。
（4）实用较好。
特别是模型1中求解出客房价格的预测函数，有利于宾馆经营者的管理。
模型的缺点
（1）模型1的假设“在所得结果中，把六月份的值减45，八、十月份的值加45”的说法存在一定的误差。
（2）用光滑曲线拟合的方法无法模拟较真实的客房价格曲线。
（3）模型1略显简单，对方案的合理性分析不够全面，模型建立过程中，没有考虑其他因素带来的影响，带来了一定的拟合误差。
模拟1增加了拟合的次数，造成拟合误差的累积。
（4）预测客户前一天中午前取消预订的概率难度很大。
7.模型的改进
（1）对于模型Ⅰ，应该引进一个科学的误差分析方法，从而可以量化误差，方便对预测的可信度进行判断。
（2）考虑到市场经济的波动情况，以及客人退房和入住的不确定性，模型Ⅱ应该找到一个排除干扰的有效方法，使得建议更具说服力。
参考文献
《MATLAB数学实验与建模》马莉◎编著清华大学出版社
《饭店客房超额预定模型分析》李义，王曼新乡师范高等专科学校学报
《数学建模案例精编》吴建国◎编著中国水利水电出版社
《AFirstCourseinMathematicalModeling》FrankR.Giordano等著
《数学模型》姜启源◎编著高等教育出版社
附录
第一次四次多项式拟合MATLAB源代码
t=[1:
12];
y=[343.25349.75398.25419.5447.25403.5453.5501.25451.25492.75438.75387];
plot（t,y,'ro'）
p=polyfit（t,y,4）
holdon
xi=linspace（0,12,400）;
yi=polyval（p,xi）;
plot（xi,yi）
legend（'数据点','拟合曲线'）;
第二次四次多项式拟合MATLAB源代码
t=[1:
12];
y=[343.25349.75398.25419.5447.25448.5453.5456.254
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