最新31 变化率与导数 教学设计 教案资料Word文档格式.docx

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平均变化率概念的形成过程．

3. 

教学用具

多媒体、板书

4. 

标签

教学过程

教学过程设计

创设情景、引入课题

【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。

【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h（单位：

米）与起跳后的时间t（单位：

秒）存在函数关系 

h（t）=-4.9t2+6.5t+10.

如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：

欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

新知探究

1.变化率问题

探究1 

气球膨胀率

【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V（单位:

L）与半径r（单位:

dm）之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

【分析】

（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

（2） 

当V从1增加到2时,气球半径增加了

0.62>

0.16，可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

解析：

探究2 

高台跳水

【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h（单位：

h（t）=-4.9t2+6.5t+10.

【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。

【师】解析：

h（t）=-4.9t2+6.5t+10

探究3 

计算运动员在

这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:

（1）运动员在这段时间里是静止的吗?

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

【师】在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.

【活动】师生共同归纳出结论

平均变化率:

上述两个问题中的函数关系用y＝f（x）表示，那么问题中的变化率可用式子

表示.

我们把这个式子称为函数y=f（x）从x1到x2的平均变化率.

习惯上用Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1）

这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2

同样Δy=f（x2）-f（x1），于是，平均变化率可以表示为：

【几何意义】观察函数f（x）的图象，平均变化率

的几何意义是什么？

【提示】：

直线AB的斜率

【设计意图】问题的目的是：

① 

让学生加深对平均变化率的理解；

② 

为下节课学习导数的几何意义作辅垫；

③ 

培养学生数形结合的能力。

2.导数的概念

探究1 

何为瞬时速度2.

【板演/PPT】

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.

【师】如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?

求：

从2s到（2+△t）s这段时间内平均速度

解：

探究2当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?

当△t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.

从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度

就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1m/s.

为了表述方便，我们用

表示“当t=2,△t趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.

【瞬时速度】

我们用 

表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

那么,运动员在某一时刻 

的瞬时速度?

【设计意图】让学生体会由平均速度到瞬时速度的逼近思想：

△t越小，V越接近于t＝2秒时的瞬时速度。

探究3:

（1）.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?

（2）.函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?

导数的概念:

一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是

称为函数y=f（x）在x=x0处的导数, 

记作

由导数的定义可知,求函数y=f（x）的导数的一般方法:

1.求函数的改变量

2.求平均变化率

3. 

求值

【典例精讲】

例1 

将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度（单位:

）为y=f（x）=x2–7x+15（0≤x≤8）.计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

解:

在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是

根据导数的定义,

在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;

在第6h附近,原油温度大约以5 

/h的速率上升.

例2.求函数

处的导数．

【小结】

1．求导方法简记为：

一差、二化、三趋近．

2．求函数在某一点导数的方法有两种：

一种是直接求出函数在该点的导数；

另一种是求出导函数，再求导数在该点的函数值，此方法是常用方法．

【变式训练】

用定义求函数f（x）＝x2在x＝1处的导数．

【当堂训练】

1.函数y＝f（x）的自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy为（ 

）

A．f（x0＋Δx） 

B．f（x0）＋Δx

C．f（x0）·

Δx 

D．f（x0＋Δx）－f（x0）

2．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在时间段2～2.1中，平均速度是 

（ 

A．4 

B．4.1

C．0.41 

D．－1.1

3.求y=x2在x=x0附近的平均速度。

4.过曲线y=f（x）=x3上两点P（1，1）和Q（1+Δx,1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

【参考答案】

1.D

分别写出x＝x0和x＝x0＋Δx对应的函数值f（x0）和f（x0＋Δx），两式相减，就得到了函数值的改变量Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0），故应选D.

2.B

DoestheWei╁harmthe鍙帶鍖?

【作业布置】

DoestheDai勫buytoresellthe閬撳弶Qi?

1、复习本节课所讲内容

2、预习下一节课内容

3、课本P.10 

习题1.1 

A组1,2,3,4.

Doesthe鍒mixtoclench鐐?

课堂小结

1、函数的平均变化率

The鐗╂祦Juan績2、求函数的平均变化率的步骤:

（1）求函数的增量Δy=f（x2）-f（x1）

The鍥iswiththe鍌ㄥ

（2）计算平均变化率

3、求物体运动的瞬时速度：

DoestheJuan嶅Zhouissuehandsome鎭?

（1）求位移增量Δs=s（t+Δt）-s（t）

（2）求平均速度

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XiFeng€?

（3）求极限

4、由导数的定义可得求导数的一般步骤：

（1）求函数的增量Δy=f（x0+Δt）-f（x0）

（2）求平均变化率

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课后习题

课本P10 

TheHeng笁鏂Gui墿Xian佸叕鍙?

板书