范里安《高级微观经济学》复习资料116章完整版文档格式.docx
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根据公式推导，连锁法则（
Clrlay_i/yXdInXd-XV
dIn（X∕x）
/T-—丄
^dInTRS柯布—道格拉斯函数的替代弹性是1
d1∩（λ，∕x。
）I
—」—I
√ln∣TΛS∣_
3、规模报酬
产量等比例增加，我们通常假设只要将以前的生产模式复制，就能生
产出t倍的产量。
定义（规模报酬不变）：
某生产技术呈现规模报酬不变的现象，若它满足下列条件:
（1）y在Y中盥涵着纽也在Y中。
其中F≥0：
（2）X在w（y）中型涵看扰在%”）中,其中r≥0,
⑶f（tx）=tf（χ）t其中/>
0：
即生产函数是/（H）是一阶齐次SIK.
定义（规模报酬递增）:
若f（tx）〉tf（x）（其中t〉1）,则该技术是规模报酬递增的。
定义（规模报酬翅减h若若f（tx）<
tf（x）（其中t〉ι∖则该技术是规模报SIia减的。
4、CES函数的相关概念
不变替代弹性（ConStanIelasticityOfSUbStitUtIOntCES）生产函S⅛的衷达式为»
*«
*■！
«
'
*»
∣!
y=［olxf
CES函数具有规模报酬不变性质。
（1）线性生产函数（P=1）。
将P=1代入CES⅛产函数可得y=X1+χ2，
（2）-M⅛-道格拉斯生产函数（Q=O儿
dIn（XJfxl）I
（T=-L—=1.
d∖τiTRS
（3）电昂惕夫生产函数（P=-8）
第二章
禾U润最大化问题:
求解要素需求函数、供给函数（参考P32柯布
道格拉斯技术的例子）
基本原理：
…r,"
”八λ-’x,UX
吋CW<
/（/）〈
dxPR厂-4
对于每个价格向量（p，w），通常会存在要素的最优选择X*。
要素最优选择是价格向量的函数，这个函数称为企业的要素需求函数。
我们将该函数记为x（p,w）OP是产品的价格，W是要素的价格。
函数y（p,w）=f（x（p,w））称为企业的供给函数。
柯布—道格拉斯函数:
简化：
就是对生产函数求导，然后,要素需求函数X=OOOOY=f（X）=。
。
G™I
PaX-Wl
二阶条件可以化简为
PU（U-i）xu～2≤0.
如果^=IJ一阶条件简化为P=屮，肉此-JIK=P时，X的任何値都是利润⅛Λ⅛的选择’当dCl时，我们使用一阶条件求解要素需求函数
供给函数为
y（p9w）=/（Xp.w））=—
利润函数：
托（p、W）=Py（P^）-^X（P^f）=W
第三章
霍特林引理（P46）
IIoteLUng⅞∣il∏（利润函数的可导性）令yi（p）是企业对商品i的净供给函数。
则
^）=⅛：
=1…W
假设该导数存在血且f。
>
o,
第四章
成本最小化问题:
求条件需求函数、成本函数等（参考P57—58：
柯
布道格拉斯和CES成本函数，后面的例子也可以看看）
1、成本函数
成本函数是要素价格为w和产量为y时的最小成本，即：
c（w,y）=wx（w，y。
）
2、条件要素需求函数
对于w和y的每一选择,都存在着某个＊x，使得生产y单位产品的成本最小。
这个函数给出了要素的最优选择，我们将其称为条件要素需求函数（conditionalfactordemandfunction），并将其记为x（w,y）。
注意，条件要素需求函数不仅取决于产量y,还取决于要素价格WO
3、柯布—道格拉斯例题
考虑以下成不垠小化问题
C（W,y）—tninWIXi+WljX2
JCI宀
使得Ax;
x”=y。
變用约束条件解⅛‰.井将其代入目标函数・我们看到这个最小化问题等价于
minKlIXl+vv,A＊vfrΛltr
•阶条件为
由此可以解出瓏素1的条件船求晦数：
要索2的条件需求函数为;
成木函数为
C（IVDW2»
J）=WlXl（WflIwIty）+WITy）
当我们便用和布—道格拉斯技术为例时*我们通常假设A=］W⅛便用观模报酬不变的假设«
+6=1.在这种情形下，成木函数简化丸
C（VVI，w2，y）=⅛1∣;
W^ayf
直中A=旷（1「旷。
4、CES技术的成本函数例题
■
假设∕⅛J⅛）=（lf+J⅛∕，与其相伴的成木函⅛⅛是什么样的?
成本最小化问题为
C（Wty）=minWIXl+w2x2
JCi—-SS
便得彳+搐
一阶条件为
Hj—⅛X∣p^'
=O
从询两个式子解出好和城,我们有
_tL_丄
C45）
Xf=Wf-l（Λp）M
PP
坊=孑⑷）L
将这两个式子代入空产函数町得
JZ£
_
解出（2P）PT并代入（45）式α由此就得到了条件耍素需求函数
XI（WrH∖fy）=^ITri
将这些函敌代入成木函数的定义「叮得
C（WItWlty）=HJXI（HJl,叫,y）+wix2（WP%，y）
户一I
—Pfl～
P
"
_P_fl^
=y
＆-3I0—]
MY+HT
i?
—JI/？
—]
H,∣+H12
J?
—]I£
？
—1
HII+K<
^r=Pl{p-X）可将上式写得更简洁些:
C（IVITVr^y）=y［vv1r+W
注总，这个成本两数的形式和它的原始CES函数的形式是相同的，只不过此处用厂替代了原CES函数中的。
.对于下列的一般情形
/（xl,x2）=[u∕1x/÷
Gz2X2/］？
’
计爭成本函数的过程类似，可得
C（IVPIV2,y）=［（W1Iay+（叫/a2）r^y.
第五章
了解各种成本曲线的关系:
平均成本曲线（AC、平均可变成本（AVC）
和边际成本（MC）（不确定考点，有可能是P72的成本曲线图形）
根据成本函数，可以求出ACAVC和MC（P69有公式、例子）
1、ACMC和AVC曲线
图21.2：
成本曲线=平均成本曲线IAC）PY均对变成本曲线IAVO和边际成本曲线（Md
2、平均成本曲线（AC）
平均成本函数（averageCOStfunctio）衡量每单位产品的成本.
短期平均成木=SAC=
反期半均成木=LAC=-"
z
图耳2:
长期和短期平均成本曲线*注总，长期平肉成木曲线和加期平均成水曲线庖迟相切＊这恵味看长期边际成本和短期边际成木必進相等.
3、平均可变成本（AVC
WX（WVV）
短期平均可变成本=SAVC=_——
y
连意。
长期平均成本等丁长期可变平均成木.这是tHF在长期＊所有成木都杲可变的・出于郴同的原I乩忙期圃定成本为零.
厂fU,V）
长期平均成木=LAC=二」
4、边际成本（MC），边际成本曲线衡量产量变动引起的成本变动.也就是说，对于任何给定的产量水平y,我们想知道，如果产量变动y,成本怎样变动？
3c（vv,v，xf）
刎期边际成木=SMC=—--_—
σy
tr
2期边赫成木=LMC=”\）
dv
4、中级里的一道例题
[⅞l21.4：
JΛ本曲⅛ft*c√y）=y~+L的亚木Il抻R
5、柯布-道格拉斯成本函数
I
C（WI,w31y,k）=w1（yfcd^l）fl+w2k.
1—a
短期平均可变成本=IVl0）"
短期半均固疋成本=吐
第七章
（重点）基于效用最大化，求解马歇尔需求、间接效用函数、支出函
数、希克斯需求等。
（见群共享“例题（7）”）
1四个恒等式和支出函数、间接效用函数、希克斯函数、马歇尔
需求函数
（1）四个恒等式：
（1〉f（ptV（Ptm））≡∕M・实现效Jnv（∣>
，m）的昼咚如小匕卩∣为
（2）V（P^e（PyU））=Ua收Ae（pyu∖⅛⅛现的JB大效用⅛M□
（3）≡hi（p・收入为WJ时的号歇尔需求函Ik与效用⅛^（^m）时的希
克斯需求函敌足相同的。
（4〉⅜（p，H）≡X；
（Pte（PtH））•效用为胡时的希1克斯需求函Jft∙⅛收入Λe（pru）时的马歇
尔需求函数是相同的•
（2）支出函数e（p,u）完全类似于我们曾研究过的企业行为中的成
本函数。
（3）间接效用函数v（p,m）,它是在既定价格和收入条件下能实现
的最大效用值。
v（Pl^J）=InaXHljj
Jc
使徘px-m.
（4）希克斯需求函数h（p,u）.希克斯需求函数类似于前几章中的
条件要素需求函数。
希克斯需求函数告诉我们实现既定效用水平所必
需的最小支出。
希克斯需求函数有时又称为补偿需求函数,通过变动
价格和收入以便把消费者保持在既定的效用水平上而形成的需求函数。
因此，我们调整收入的目的是“补偿”价格的变化ht（ptu）=
（5）作为价格和收入函数的需求函数是可以观测到的；
当我们想强调希克斯需求函数和通常的需求函数的区别时,我们通常将后者称为马歇尔需求函数x（p,m）.
2、罗伊恒等式
罗伊（RM）恒筹式’⅛⅛Λ（p,w∣⅛⅛⅛1⅛¾
需求函数.那么
A*4＊＊
3n
斥（円用）二一ii=1K
出心肿）
肖然師捉条件址上式右侧址岌好泄义的。
⅛11.PiAo以⅛∕H>
0,
3、CES效用函数例题
（I）CES效用函数下的马歇尔需求函数
函数U（X1,X2）=（X「X2）1八•被称为CES效用函数，其中Or「:
：
1。
容易证明，该效用函数代表着严格单调且严格凸的偏好。
消费者问题是找到一个非负的消费组合作为如下问题的解•
iJ
+λ^）P，上PIXI+∕>
jjq～∕≤0＊
lι<
⅛
效用最大化问题的拉格朗日函数可以写为
^（j∏，Λ≥tλ）≡（if+P-λ（pιX］+∕⅞¾
—Λ⅛÷
其中λ是拉格朗日乘子。
对Xi和&
求导，可得到一阶条件：
=K+JoftW^ij⅛"
1—
-J√〉j二0’
=随+耳严瀚」歹
■λ∕⅛=Ot
（E3〉
=PIxl+j^χ⅛—y≡0。
（E4J
通过上面几个方程的计算
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