高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用学案Word下载.docx
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c＋b·
c.
[必会结论]
1．设e是单位向量，且e与a的夹角为θ，则e·
a＝a·
e＝|a|cosθ；
2．当a与b同向时，a·
b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·
b＝－|a||b|，特别地，a·
a＝a2或|a|＝
；
3．a·
b≤|a||b|.
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）两个向量的数量积是一个向量．（ ）
（2）向量在另一个向量方向上的投影也是向量．（ ）
（3）若a·
b＞0，则a和b的夹角为锐角；
若a·
b＜0，则a和b的夹角为钝角．（ ）
（4）若a·
b＝0，则a＝0或b＝0.（ ）
（5）（a·
b）·
（b·
c）．（ ）
（6）若a·
b＝a·
c（a≠0），则b＝c.（ ）
答案
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
（5）×
（6）×
2．[2018·
重庆模拟]已知向量a＝（k,3），b＝（1,4），c＝（2,1），且（2a－3b）⊥c，则实数k＝（ ）
A．－
B．0C．3D.
答案 C
解析 因为2a－3b＝（2k－3，－6），（2a－3b）⊥c，所以（2a－3b）·
c＝2（2k－3）－6＝0，解得k＝3.选C.
3．[2017·
全国卷Ⅰ]已知向量a，b的夹角为60°
，|a|＝2,|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案 2
解析 解法一：
|a＋2b|＝
＝
＝2
解法二：
（数形结合法）由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|
|.又∠AOB＝60°
，所以|a＋2b|＝2
4．[2018·
济南模拟]已知向量|b|＝3，a·
b＝－12,则向量a在向量b方向上的投影是________．
答案 －4
解析 因为向量|b|＝3，a·
b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是
＝－4.
5．[2016·
北京高考]已知向量a＝（1，
），b＝（
，1），则a与b夹角的大小为________．
答案
解析 a·
b＝2
，∴cos〈a，b〉＝
，又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝
6．[课本改编]已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则
·
的值为________；
的最大值为________．
答案 1 1
解析 以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D（0,0），A（1,0），B（1,1），C（0,1）．设E（1，a）（0≤a≤1），所以
＝（1，a）·
（1,0）＝1，
（0,1）＝a≤1.故
的最大值为1.
板块二 典例探究·
考向突破
考向
平面向量数量积的运算
例 1
（1）[2016·
山东高考]已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝
.若n⊥（tm＋n），则实数t的值为（ ）
A．4B．－4C.
D．－
答案 B
解析 因为n⊥（tm＋n），所以tm·
n＋n2＝0，所以m·
n＝－
，又4|m|＝3|n|，所以cos〈m，n〉＝
＝－
，所以t＝－4.故选B.
（2）[2017·
北京高考]已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为（－2,0），O为原点，则
答案 6
根据题意作出图象，如图所示，A（－2,0），P（x，y）．
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为（x,0）．
＝|
||
|cosθ，
|
|＝2，|
|＝
，
cosθ＝
所以
＝2（x＋2）＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
的最大值为2＋4＝6.
如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，
所以可设P（cosα，sinα）（0≤α＜2π），
＝（2,0），
＝（cosα＋2，sinα），
＝2cosα＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cosα＝1，即α＝0，P（1,0）时“＝”号成立．
触类旁通
向量数量积的两种运算方法
（1）当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·
b＝|a||b|cos〈a，b〉．
（2）当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·
【变式训练1】
（1）[2018·
湖北模拟]已知点A（－1,1），B（1,2），C（－2，－1），D（3,4），则向量
在
方向上的投影为（ ）
A.
B.
C．－
答案 A
解析
＝（2,1），
＝（5,5），由定义知
方向上的投影为
（2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则
＝________.
（
－
）＝
2－
2＝22－
×
22＝2.
以A为原点建立平面直角坐标系（如图），可得A（0,0），E（1,2），B（2,0），C（2,2），D（0,2），
＝（1,2），
＝（－2,2），
则
＝（1,2）·
（－2,2）＝1×
（－2）＋2×
2＝2.
平面向量数量积的性质
命题角度1 平面向量的垂直
例 2
（1）如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，
，|
|＝1，则
＝（ ）
A．2
C.
D.
答案 D
＝（
＋
）·
|cos∠BDA＝
|2＝
全国卷Ⅰ]已知向量a＝（－1,2），b＝（m,1）．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
答案 7
解析 ∵a＝（－1,2），b＝（m,1），
∴a＋b＝（－1＋m,2＋1）＝（m－1,3）．
又a＋b与a垂直，∴（a＋b）·
a＝0，
即（m－1）×
（－1）＋3×
2＝0，
解得m＝7.
命题角度2 平面向量的模
例 3
（1）[2018·
济南模拟]设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝
，a·
（a－b）＝0，则|2a＋b|＝（ ）
A．2B．2
C．4D．4
解析 ∵a·
（a－b）＝0，∴a2＝a·
b＝1，|a－b|2＝a2－2a·
b＋b2＝3，∴b2＝4，∴|2a＋b|＝
.故选B.
（2）已知向量a与b的夹角为120°
，|a|＝3，|a＋b|＝
，则|b|等于（ ）
A．5B．4C．3D．1
解析 |a＋b|2＝（a＋b）2
＝a2＋2a·
b＋b2
＝|a|2＋2|a||b|cos120°
＋|b|2
＝32＋2×
3×
|b|×
＝9－3|b|＋|b|2＝13，
即|b|2－3|b|－4＝0，
解得|b|＝4或|b|＝－1（舍去）．
命题角度3 平面向量的夹角
例 4
（1）已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝
，且|2a＋b|＝
，则向量a与向量a＋b的夹角为（ ）
D．π
解析 由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·
b＋3＝7，所以a·
b＝0，所以a·
（a＋b）＝1，且|a＋b|＝
＝2，故cos〈a，a＋b〉＝
，所以〈a，a＋b〉＝
山东高考]已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若
e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°
，则实数λ的值是________．
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·
e2＝0，
e1－e2|＝
＝
＝2.
同理|e1＋λe2|＝
所以cos60°
解得λ＝
平面向量数量积求解问题的策略
（1）求两向量的夹角：
，要注意θ∈[0，π]．
（2）两向量垂直的应用：
两非零向量垂直的充要条件是：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
（3）求向量的模：
利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·
a＝|a|2或|a|＝
②|a±
b|＝
③若a＝（x，y），则|a|＝
向量运算的最值或取值范围
例 5 [2018·
福建质检]平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，
＝4，点P在边CD上，则
的取值范围是（ ）
A．[－1,8]B．[－1，＋∞）
C．[0,8]D．[－1,0]
解析 由题意得
|·
cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝
.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4,0），C（5，
），D（1，
），因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为（a，
）（1≤a≤5），则
＝（－a，－
（4－a，－
）＝a2－4a＋3＝（a－2）2－1，则当a＝2时，
取得最小值－1，当a＝5时，
取得最大值8.故选A.
求向量的最值或范围问题
求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数（包括自变量的范围），然后利用相关知识求出最值或取值范围．
【变式训练2】 在平行四边形ABCD中，∠A＝
，边AB，AD的长分别为2,1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足
，则
的取值范围是________．
答案 [2,5]
解析 设
＝λ（0≤λ≤1），
＝λ
＝（1－λ）
）
＋λ
[
＋（1－λ）
]
＋（1－λ）
2＋λ
2＋λ（1－λ）
又∵
＝2×
1×
cos
＝1，
2＝4，
2＝1，
∴
＝－λ2－2λ＋5＝－（λ＋1）2＋6.
∵0≤λ≤1，∴2≤
≤5，
即
的取值范围是[2,5]．
核心规律
1．计算数量积的三种方法：
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．
2．求向量模的常用方法：
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
3．利用向量垂直或平行的条件构造方
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