小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解Word文件下载.docx
《小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数几何五大模型蝴蝶模型分解Word文件下载.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
？
）
【例2】四边形A3CD的对角线AC与3D交于点0（如图所示）。
如果三角形AZ辺的面积等于三角形3CD的面积的且AO=2t07=3,那么CO的长度畏DO的长度的倍。
【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形S无外乎两种处理方法：
（1）利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；
（2）通过画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中给出条件S,3：
S/“=1：
3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。
又观察题目中绐出的已知荼件是前积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形S于是可以作垂直血于CG垂直加于G,面积比转化为高之比。
再应用结论：
三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。
请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴堞定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：
VAO:
OC=S^BD:
S^l）c=\:
3.
••OC=2x3=6,
:
.OC:
OD=6:
3=2A・
解法二：
作丄于CG1BD于G・
•S'
ABD=兰业"
.AH=^CG.
3
••S^OD=-Sqk»
.AO=^CO.
.OC=2x3=6,
•••OC:
【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，厶CEF、2EF、NJDF、8OE的両积依次是2、4、4和6。
⑴求△OCF的面积；
⑵求△«
£
•的面积。
【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2+4+4+6=16,那么△ECO和△CDO的面积都是16*2=8,所以△OCF的面积为8-4=4；
（2）由于△BCO的面积为8,的面积为6,所以△OCE的面积为8—6=2,
根据蝴蝶定理，EG:
FG=SgE：
SgF=2：
4=l:
2,所以忑笫：
S乂纽=£
G:
FG=1:
2•
11?
那么S'
CCE=-j—=3X2=3*
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。
那么最大的一个三角形的面积長多少公顷？
【解析】在MBE,KDE中有ZAEB=ZCED,所以△ABE,°
CDE的面积比为（AExEB）:
（CExDE）。
同理有△ADE.aBCE的面积比为（AExDE）:
（BExEC）。
所以有XSg*=XS州也就是
说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：
上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即SfeX6二S'
M,所以有△血与的面积比为7:
6,SgE二丄x39=21公顷，Sa.^=—x39=18公顷。
6+76+7
显然，最大的三角形的面积为21公顷。
【例5】
（2008年清华附中入学测试題）如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积为O
【解析】连接血、CD、BC。
43
则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：
1+—-1=2,&
4CD的面积为：
3+--1=3.5,
22
4
的面积为：
2+—一1=3・
2
4412
所以3O:
OD=Sw：
S*=：
2:
3.5=4:
7，所以严于xS*严亓x3=]•
【巩固】如图，每个小方格的边长都是1.求三角形A3C的面积。
【解析】因为BD:
CE=2:
5,且BD〃CE、所以DA:
AC=2:
5,S^RC=,S^BC=-x2=^.
2577
【例6】
（2007年人大附中考题）如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面积.
【解析】连接£
F・
因为BE=2EC,CF=FD,所以=（卜卜孰昨詁S”
因为根据蝴蝶定理’AG:
GF=1：
1=6:
1,
所以Smgd=6S、gdf=JSgF=yx—S“bcd
3_
~丄s"
所以Sjge=S皿D_S^GD=㊁SqABCD_訂SqMcd=—$口心"
=斤，即三角形AEG的面积是2・
7
【解析】
连接AE,FE.
3111
因为BE:
EC=2:
3,DF:
FC=1:
2,所以S加=（尹方妆心=百3阿亦,
\AGD='
S二gdf=10平方，壇米，用以S“fd=12平
因为S.aed--S长方j你心*AG:
GF=-：
—=5:
1,所以S<
方厘米.因为所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.
【例8】
6
如图.已知正方形的边长为10厘米，£
为血中点，F为CE中点，G为3F中点，求三角形的面积•
=ls
由蝴蝶定理可知EO:
OC=S：
S”而S如冷S”，S昨所以EO:
OC=S,bed：
5SC/,=1:
2,故EO=£
EC.
由于F为CE中点，所以EF=、EC,故EO:
EF=2:
3,FO:
EO=\:
2.2
由蝴蝶定理可知S:
s冲=FO:
2，所以丄旳寺加寺昨,
那么=—^^D=—^cAWD=—X10X10=6.25（平方厘米）•
2lo16
【例9】如图，在AABC中，巳知"
分别在边AC、BC±
fBM与册相交于O,若MOM.AABO和
ABON的面积分别是3.2、1,则酗VC的面积長•
【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.
根据蝴蝶定理得S*n=5"
5=字諾
Sjob22
设Sm”二x,根据共边定理我们可以得
【例10]（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形人爲4厲4人的面积是2009平方厘米，分别
是正六边形各边的中点；
那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
【解析】如图，设以人与£
4的交点为O,则图中空白部分由6个与牡04一样大小的三角形组成，只要求出了*04前面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.
连接人心、B占、B.A..
设*b屁的面积为”1"
则面积为”I“，*人乞面积为”2“，那么A44A面积为
的2倍，为”4“，梯形AA^A,的面积为2x2+4x2=12,帆以4的面积为”6"
AB,A,A5的面积为2.
根捋堆燥定理，BQ=AyO=S申程民:
Sx,夙=1:
6,故=»
Sm].—=丁»
io1
所以SwmJS讣"
，.广亏:
12:
1:
7,即独％的面积为梯形人每4人面积的尹故为六边形
113
人人4儿人人面积的丄，那么空白部分的面积为正六边形面积的—x6=-,所以阴影部分面积为
14147
2009x
Q
1--=1148（平方厘米）.
7>
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:
®
s}:
S3=a2:
b2
2S]:
：
S2：
S4=u2:
b2:
ah:
ah•
3S的对应份数为（a^h）2.
梯形蝴燥定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造楔型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）
【解析】设§
为/份，S*为，份，根据梯形蝴蝶定理，S.=4=b29所以b=2；
又因为S2=2=axb,所以a=\；
那么S]=/=l,S4=x/?
=2,所以梯形面积S=S]+S?
+S3+S4=1+2+4+2=9,或者根据梯形蝴蝶定理，S=（a+b）'
=（l+2）2=9・
【巩固1（2006年智力数学冬令营）如下图，梯形ABCQ的加平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知亠。
〃与/XBOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.
【解析】根据梯形蝴蝶定理，S*/二込=/:
肋=25:
35,可得“・・b=5:
7,再根据梯形蝴蝶定理，丄阿：
耳啦=/：
戻=52：
72=25:
49,所以5^=49（平方厘米）.那么梯形ABCD的面积为25+35+35+49=144（平方厘米）・
【例12】梯形ABCD的对角线AC与血交于点O,已知梯形上底为2,且三角形的面积等于三角
2形3OC面积的求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.
【解析】根据梯形蝴蝶定理，S“oB：
S/oc"
bW3,可以求出“"
=2:
3,再根据梯形蝴蝶定理，Sg：
S肿Z：
^2=22：
32=4:
9.
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.
【例13】
（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线AC和庞＞交于O点'
已知AO=1,并且
【解析】根据蝴蝶定理，三"
叱?
[|枳=竺,所以△£
=」，又AO=1,所以co=-.三角形CBD的而积COCO53
三角形OBC的面积長9C,问三角形AOD的面积長多少？
【解析】根据梯形蝴蝶定理，/b=l:
l・5=2:
3,S*“：
S曲严/:
，=22：
32=4:
9,所以S“o”=4（cm2）.
【巩固】如图，梯形中，MOB.ACOD的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.
【解析】根据梯形蝴堞定理，丄.5：
入5=/疔=4:
9,所以a：
b=2.393
S'
AOD:
S“OB="
=b：
"
=3：
2,S“OD=SgB=1.2x_=1.8t
=1.24-1.8+1.8+2.7=7.5・
【例15]如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形心；
的面积長11,三角形BCH
的面积是23,求四边形EGFH的面积•
【解析】如图，连结硏显然四边形川府和四边形磁尸都是梯形，于是我们可以得到三角形曲;
的面积等于三角形ADG的面积；
三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形
升级会员 