初等几何作图Word文档格式.docx

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在同一个作图题中,所给的条件必须是能够作出所求的图形,否则,所求的图形将有无限多个,成为不定解问题.

若所给的条件有矛盾,致使所求作的图形根本不存在,则称之为“无解”。

使用作图工具,依照给定条件,按正确合理的方法把所求的图形作出的过程,叫做解作图题.

1.5几何作图分类

按所求图形位置的要求不同,几何作图可作如下分类:

（1）定位作图如果求作的图形必须在指定的位置,就叫做定位作图.凡定位作图,能作出多少个适合条件的图形,就算有多少个“解”.

（2）活位作图如果对于求作的图形的位置没有给予限制,就叫做活位作图.这一类又分为两种:

①半活位作图限制在某范围内的作图,但在此范围内作图位置不加限制,这叫做半活位作图.例如“在定圆内作内接正方形”.

②全活位作图对于求作的图形的位置没有任何限制,就叫做全活位作图。

例如,“已知三边长,求作三角形”.

对于活位作图,若所作出的适合条件的图形是全等形,则只算作一个解,不全等的才算作不同的解.

2作图成法

根据作图公法或一些已经解决的作图题而完成的作图,叫做作图成法,或叫做基本作图题.作图成法在作图题中的作用与几何定理在证明中的作用类似,可以直接加以引用,不必详细叙述其作图过程.

作图成法的内容,随着教材安排的结构不同在各种不同的教材体系中有一定程度的不同.通常所说的作图成法,有以下内容:

1.作一条线段等于已知线段；

2.作一个角等于已知角；

3.已知如下条件,作三角形:

1三边,②两边及其夹角,③两角及其夹边；

4.过已知点作已知直线的垂线；

5.过一点作已知直线的平行线；

6.作已知角的平分线；

7.作已知线段的垂直平分线；

8.平分一已知弧；

9.分一线段成若干等分；

10.作已知线段的和或差；

11.作已知角的和或差；

12.已知弓形的弦长和其内接角,求作弓形弧；

13.内分或外分一线段成已知比；

14.作三已知线段

、

的第四比例项；

15.作二已知线段

的第三比例项（即

）；

16.作二已知线段

的等比中项或比例中项

；

17.已知线段

，求作线段

18.已知线段

.

将上述作图成法相互结合，可以得到一些较复杂的作图题.

例１　已知线段

作出

　.

例２已知线段

作

.

例３　设

是已知线段，求作线段

作法：

设

，则

所以，三次使用第四比例项的作图便得到所求线段

3解作图题的步骤

解作图题的完整步骤有六步：

1.已知完整写出题设条件；

2.求作说明要作的图形必须具备题设条件；

3.分析在正式作图之前，寻求作图方法的线索，探索如何把求作的图

形逐步分解为有限个作图成法、作图公法的途径.这一步骤的程序如下：

（1）假定所求的图形已经作成，画一草图，设想已符合所有要求的条件.

（2）尽量考究图中各元素的大小、位置及相互间的关系；

分析整个图形是否可以分解为若干部分，逐步用作图成法或作图公法作出.如果线索不明，则可在草图里逐步添绘有关的点、线，继续探索，直至将作图的全过程弄清楚.

4．作图根据分析所得的线索，依次叙述作图的方法，作图时，每作一点、一线或一角，必须分别定名并完整写明它们所满足的条件.不能有形无名或有名无形.作图必须步步有据，其根据是作图公法或作图成法.

5．证明作图之后，应逐条检验所得图形确实合乎所有要求的条件，用以证实作图无误；

6．讨论作图时，一般只立通法，这叫做形式作图.然而一个作图的有解无解，应取决于题设条件之大小、位置及其相互间的关系.所以不能因为已有形式作图而说问题一定有解。

必须对所设条件在其变化范围内分别各种可能的情形，逐一加以推究，确定本题的解有多少？

这种通盘考虑种种可能情况，据以作出肯定性的判断解数的条文，叫做讨论（或推究）.如果作图题只有一解，讨论可以省略.

上述六个步骤是有机整体，缺一不可.其中1、2两步是准备阶段，第3步是关键，它为作图题提供线索，这一步有时可以不写，但不能不想.第4步是核心，它是后两步的根据，第5步是保证解题的正确性，第6步是保证解题的完整性。

作图题如果不加分析和讨论，很可能遗漏或出现多余的解.

例4给定不共线三点

，求过

作一直线使距

等远。

此题如果不加分析，按以下作法，就少了一个解.

作法：

连

，过

点作

的平行线

（如下图）则

即为所求直线.

显然如果是连结

和线段

的中点

所得的直线

，也是符合条件的（如下图），所以本题应有两个解.

例5求作一个三角形，已知其两边及其中一边的对角.

已知：

给定线段

及角

求作：

使

分析：

假设

已作成，其中

为已知，故可先作此角，顶点

就确定了.在角的一边上截取

，则顶点

就确定了.至于顶点

，它应在

的另一边上，又必须在圆

上，所以得如下作法：

，在射线

上截取

，以

为心，以

为半径作圆，设其与射线

交于点

，则所求作的三角形就是

P179-4

证明由作法，有

，

即

符合条件.

讨论：

解的有无与多少，显然是取决于点

之有无和它的数目，

点应在射线

上，而不应在它过

点的延长线上，若作

于

，并以

表示

，那么

（1）若

为锐角，则

①

时无解；

②

时有一解，是Rt

③

时有两解，一为锐角

，一为钝角

④

时有一解，是等腰三角形；

⑤

时有一解（所成另一钝角

不符合条件）.

（2）若

为直角，则

时有一解（所成二直角三角形合同）.

（3）若

为钝角，则

时无解（或不成三角形或成为不符合条件的三角形）；

时有一解，是钝角三角形.

第二节数域的扩充与三等分角

数域是一个对于加减乘除四则运算都封闭的数系.按照这个定义，整数系不是数域，而有理数系、实数系、复数系都是我们所熟悉的数域。

随着数学的发展，一般的数域，如有理数域、实数域、复数域等已不能满足人们深入研究问题的需要，这就使我们不得不了解数域的扩充.

1数域的扩充

假定最初只给了一个元素1，由1出发，我们能作出整个有理数域，从而能作出平面上的所有有理点，即两个坐标皆为有理数的点.同样，我们能作出新的无理数，如

，它不属于有理数域。

从

出发，通过“有理”作图，可以作出所有形如

的数，这里

是有理数.同样地，我们可以作出所有形如

或

是有理数.但这些数总可以写成

的形式.例如

这里

是有理数，且分母

不可能是零.同样

=

是有理数.因此，由

的作图，我们产生了全部形如

的数集，其中

是任意有理数.由此得

命题1形如

的数形成一个域.

证明只需证，形如

的两个数的和、差、积、商也是形如

的数，且满足域的基本性质就行了，这是容易验证的。

显然，这个域比有理数域大.事实上，在

中取

就可得到有理数域.将有理数域记为

，这个数域记为

，称它为

的扩张.

中的数都可以用直尺和圆规作出来.现在我们继续扩充可作数的范围.在

中取一个数，如

.求它的平方根而得到可作图的数

用它可以得到所有形如

的数，它们也形成一个域。

称为

的扩张，记为

，现在

可以是

中的任意数，即

形如

是有理数。

从

出发，我们还可以进一步扩充作图的范围，这种办法可以一直继续下去，用这种办法得到的数都是可用直尺圆规画出来的。

2尺规作图范围的讨论

借助于简单的尺规工具能够作出各种各样的几何图形，其可能性也许大大超出我们的想象。

如尺规作图可以把任意多边形化为一个等积的正方形，即作一个正方形与已知多边形面积相等.但是，尺规作图也有一定的范围，下面我们依次讨论。

命题2只用直尺作不出数域

以外的数.

证明设

.过点

的直线方程是

或

它的系数是由

中的数作成的有理式.

今有两条以

中的数为系数的直线：

解此联立方程，可得交点坐标：

它们都是

中的数.这样一来，只用直尺作图不能使我们超出

的范围.

命题3由已知数域

出发借助尺规能作且仅能作出数域

证明根据以上讨论，只要能作出

，则仅用直尺就能作出数域

下面证明尺规仅能作出数域

.尺规操作仅能作以下图形：

（1）过两个已知点作直线，求出两条已知直线的交点。

（2）过已知点用已知长为半径作圆，求出圆与直线、圆与圆的交点。

用尺规事先确定平面的直角坐标系.这样，作法

（1）

（2）相当于求解下列三种方程组：

（1）

（2）

（3）

其中

.

（1）（3）的解含于

，方程组

（2）可化为

记

，则

命题4尺规作图不能三等分任意角.

证明只要证明存在一个角不能三等分就可以了，故只需证明尺规作图不能三等分

。

如图所示，设

，并设线段

的长为1.假定三等分任意角是可能的.如图设

.那么点

的纵坐标一定是有理数或二次不尽根.这相当于说

是有