版三维方案数学同步人教A版选修21 阶段质量检测三空间向量与立体几何Word格式.docx
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（0,17,2）＝0＋34＋10＝44.
3．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·
n＝（ ）
A．7B．－20
C．28D．11
选C 因为m＝（0,8,3），n＝（－1,5，－4），
所以m·
n＝0＋40－12＝28.
4．已知二面角αlβ的大小为
，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为（ ）
A.
B．
C.
D.
选B 设m，n的方向向量分别为m，n.
由m⊥α，n⊥β知m，n分别是平面α，β的法向量．
∵|cos〈m，n〉|＝cos
，∴〈m，n〉＝
或
但由于两异面直线所成的角的范围为
，
故异面直线m，n所成的角为
5．已知O为空间任一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且
＝2x
＋3y
＋4z
，则2x＋3y＋4z的值为（ ）
A．1B．－1
C．2D．－2
选B 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是：
对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得
＝x1
＋y1
＋z1
且x1＋y1＋z1＝1.因此2x＋3y＋4z＝－1，故选B.
6．在以下命题中，不正确的个数为（ ）
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若
＝2
－2
－
，则P，A，B，C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|（a·
b）·
c|＝|a|·
|b|·
|c|.
A．2B．3
C．4D．5
选C ①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；
②b需为非零向量，故不正确；
③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；
④由基底的定义知正确；
⑤由向量的数量积的性质知，不正确．
7．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为（ ）
选C 建立如图所示的空间直角坐标系，设A（1,0,0），则B（0,1,0），D（0，－1,0），AB＝
，SD＝
∴SO＝1，∴S（0,0,1），
∴E
＝（0，－1，－1）．
∴cos〈
〉＝
＝－
∴AE与SD所成角的余弦值为
8．在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为（ ）
选C 建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（2,0,0），B1（2,2,4），D1（0,0,4），A1（2,0,4），
＝（0,2,4），
＝（－2,0,4），
＝（0,0,4）．
设平面AB1D1的法向量n＝（x，y，z），
则
即
令x＝2，得n＝（2，－2，1）．
所以A1到平面AB1D1的距离为d＝
9．已知
＝（1,2,3），
＝（2,1,2），
＝（1,1,2），点Q在直线OP上运动，则当
·
取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
选C 设点Q（x，y，z）．因为点Q在
上，所以
∥
可设x＝λ，0≤λ≤1，则y＝λ，z＝2λ，
则Q（λ，λ，2λ），
＝（1－λ，2－λ，3－2λ），
＝（2－λ，1－λ，2－2λ），
＝6λ2－16λ＋10＝6
2－
故当λ＝
时，
取得最小值，此时点Q
.故选C.
10.如图，在四面体PABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角BAPC的余弦值为（ ）
选C 如图，作BD⊥AP于点D，作CE⊥AP于点E.
设AB＝1，则易得CE＝
，EP＝
，PA＝PB＝
可以求得BD＝
，ED＝
∵
∴
2＝
2＋
2＋2
＋2
，∴cos〈
〉＝－
故二面角BAPC的余弦值为
11.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）
选A 如图，以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形ABCD的边长为a，M（x，y,0），则0≤x≤a,0≤y≤a，P
，C（0，a,0），则|
|＝
，|
.由|
|＝|
|，得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y＝
x（0≤x≤a），故选A.
12．三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足：
＝λ
，则直线PN与平面ABC所成角θ取最大值时λ的值为（ ）
选A 如图，分别以
为单位正交基底建立空间直角坐标系，
则P（λ，0,1），N
易得平面ABC的一个法向量n＝（0,0,1），
则直线PN与平面ABC所成的角θ满足：
sinθ＝|cos〈
，n〉|＝
于是问题转化为二次函数求最值，而θ∈
所以当sinθ最大时，θ最大．所以当λ＝
时，sinθ最大，为
同时直线PN与平面ABC所成的角θ取到最大值．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上）
13．已知a＝（3λ，6，λ＋6），b＝（λ＋1,3,2λ）为两平行平面的法向量，则λ＝________.
由题意知a∥b，∴
，解得λ＝2.
答案：
2
14.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，若{
}为基底，则
＝________.
）＋
）
15．点P是底边长为2
，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN是该棱柱内切球的一条直径，则
的取值范围是________．
由题意知内切球的半径为1，设球心为O，
＝（
）·
＝|
|2－1.
∵1≤|
|≤
，∴
∈[0,4]．
[0,4]
16.将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足
，则|
|的值为________．
设BD中点为O，连接OA，OC，则OC⊥平面ABD，
以O为原点，
所在直线为x轴，
所在直线为y轴，
所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A
，B
，C
，D
＝（0，－
，0），
＋（0，－
，0）
所以|
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知a＝（x,4,1），b＝（－2，y，－1），c＝（3，－2，z），a∥b，b⊥c，求：
（1）a，b，c；
（2）a＋c与b＋c夹角的余弦值．
解：
（1）因为a∥b，所以
解得x＝2，y＝－4，则a＝（2,4,1），b＝（－2，－4，－1）．
又b⊥c，所以b·
c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝（3，－2,2）．
（2）由
（1）得a＋c＝（5,2,3），b＋c＝（1，－6,1），
设a＋c与b＋c夹角为θ，
因此cosθ＝
18.（本小题满分12分）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°
（1）设
＝a，
＝b，
＝c，试用a，b，c表示
；
（2）已知O为四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，求CO的长．
（1）由
＝c，得
＝a＋b＋c，
＝－a－b－c.
（2）O为四棱柱ABCDA1B1C1D1的中心，
即O为线段A1C的中点．
由已知条件得|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·
b＝0，〈a，c〉＝60°
，〈b，c〉＝60°
由
（1）得
则|
|2＝
2＝（a＋b＋c）2
＝a2＋b2＋c2＋2a·
b＋2b·
c＋2a·
c
＝22＋22＋32＋0＋2×
2×
3×
cos60°
＋2×
＝29.
所以A1C的长为
，所以CO的长为
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求证：
EF⊥CD；
（2）求DB与平面DEF所成角的正弦值．
（1）证明：
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图．设AD＝a，
则D（0,0,0），A（a,0,0），B（a，a,0），C（0，a,0），E
P（0,0，a），F
（0，a,0）＝0.
⊥
，∴EF⊥CD.
（2）设平面DEF的法向量为n＝（x，y，z），
取x＝1，
则y＝－2，z＝1，∴n＝（1，－2,1），
，n〉＝
设DB与平面DEF所成角为θ，则sinθ＝
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝
GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（2）若F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
的值．
（1）以G点为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2,0,0），C（0,2,0），P（0,0,4
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