数值计算方法试题一.docx
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数值计算方法试题一
数值计算方法试题
、填空题（每空1分，共17分）
x3•x-4=0在区间［1,2］内的根精确到三位小数，需对分（
2
「•（Xk-2）局部收敛的充分条件是
如果用二分法求方程
）次。
迭代格式Xk1二Xk
［X3
S（x）1（x-1）3a（x-1）2b（x-1）c已知2
）。
1乞x乞3
是三次样条函数，则
a=（），b=（），
4、I0（X）,I1（X），…，In（X）是以整数点
nn
•_1k（X）='Xklj（xk）-
2（），心（
f（x）二6x72x43x21
.7,
和-。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为
'k（X）応是区间［0,1］上权函数：
"x）二x的最高项系数为
5、设
■7fo
c=（）。
x0,,xn为节点的Lagrange插值基函数，则
n
送（x：
+xi+3）lk（x）=
），当n_2时k=0（）。
和节点xk-k/2,-0,1,2,,则f[x0,x1，,xn]~
7、
1
ox4（x）dx
8、给定方程组
9、解初值问题
10、设
，5个节点的求积公式最高代数精度为。
1的正交多项式族，其中：
0（x^1，则
"%-ax2=b1厂弘*2“2，a为实数，当a满足—
y[^=yn+hf（Xn,yn）
h[0]
yn1—yn~[f（xn,yn）f（xn1,yn1）]
L2是
，且0—•：
：
：
2时，SOR迭代法收敛。
y二f（x,y）
.y（x0）=y。
的改进欧拉法阶方法。
_1
0
[0]
al
）时，必有分解式A=LLt，其中L为下三角阵，当其对角线
元素hi（i=1,2,3）满足（
二、选择题（每题2分）
）条件时，这种分解是唯一的。
1、解方程组Ax二b的简单迭代格式
（1）P（A）<1,
（2）P（B）<1
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
保证，所以实际应用中，当（
x（k1）=Bx（k）■g收敛的充要条件是（
（3）P（A）=1,⑷P（B）>1
n
f（x）dx：
（b-a）'Ci（n）f（Xi）
i=0中，当系数Ci是负值时，公式的稳定性不能
）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（3）［-10，（4）n-6，
）。
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f（x）
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
（1）n-8，
（2）n一7,
3、有下列数表
所确定的插值多项式的次数是（）。
（1）二次；
（2）三次；（3）四次；（4）五次
h
yn^=yn+hf（Xn+二，yn
4、若用二阶中点公式2
保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（
⑴0：
：
h_2,⑵0_h_2,⑶0：
：
h：
：
2,
4f（Xn,yn））求解初值问题y=_2y,y（0）=1，试问为
）。
⑷0_h：
：
2
三、
19
25
30
38
19.0
32.3
49.0
73.3
1
小时,
1、（8分）用最小二乘法求形如y二a•bx2的经验公式拟合以下数据:
15分）用n=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算试用余项估计其误差。
（2）用n=8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算岀该积分的近似值。
3（15分）方程X-X-1=0在X=1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（
2、
（1）
四、1、
「1
3
Xn；（3）X=X-1对应迭代格式
x_3厂刁x="丄二
应迭代格式Xn1-XnI；
（2）X对应迭代格式
Xn1-1。
判断迭代格式在X0=1.5的收敛性，选一种收敛格式计算X二1.5附近的根，精确到小数点后
第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
AX=f，其中
4
3
1
■24]
A=
3
4
-1
f=
30
-1
4
，-
-24
（1）
列岀
Jacobi迭代法和
Gauss-Seidel
迭代法的分量形式
（2）
求出
Jacobi迭代矩阵的谱半径，写岀
SOR迭代法。
2、（8分）已知方程组
i1I
（15分）取步长h=0.1，求解初值问题.y（0）=1格一库塔法求y（0.1）的值。
五、i、
用改进的欧拉法求y（°・1）的值；用经典的四阶龙
4次的多项式P（X）使它满足
f（Xi）,p（XoHf（xo）,P（Xi）二
4分）
2、（8分）求一次数不高于
P（X°）=f（X。
）,p（xj=
（下列2题任选一题，数值积分公式形如
（1）试确定参数A，B，C，D使公式代数精度尽量高；（
1
R（x）=0xf（x）dx-S（x），并估计误差。
用二步法
厂（Xi）p（X2）=f（x2）
六、
1、
2）设f（X）・C4[0,1]，推导余项公式
y'=f（x,y）
%
求解常微分方程的初值问题差主项，此时该方法是几阶的。
•y（X0）=y。
时，如何选择参数a0^1，日使方法阶数尽可能高，并求局部截断误
数值计算方法试题二
、判断题：
（共16分，每小题2分）
1、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使A=LU唯一成立。
（）
2、当n亠8时，Newton—cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
bn
f（x）dx八Af（xi）
i=1的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为
■2
4、矩阵
5、设
的2—范数A2=9o
a丿，则对任意实数a式0，方程组Ax=b都是病态的。
（用
QRnn，且有qTq=I（单位阵），则有IIAQA2
：
：
）
6、设A•Rnn
7、区间a,b1上关于权函数W（x）的直交多项式是存在的，且唯一。
8、对矩阵
广2
2
3^
5
0
0¥2
2
3、
A=
4
7
7
=
2
1
0|
0
b
1
<-2*
4
5」
厂*
a
1丿
<0
0
6」
A作如下的Doolittle
分解:
，则
20分，每小题
2分）
a,b的值分别为a=2，b=2。
二、填空题：
（共
1、设f（x）=9x83X4*21x210，则均差
f[20,21,28]=f[30,31,39]
2、设函数f（x）于区间a,b】上有足够阶连续导数，
f（xk）
xk1二xk-m
f（xk）的收敛阶至少是
o
p•a，b1为f（x）的一个m重零点,
Newton
迭代公式
阶。
3、区间a,b】上的三次样条插值函数
S（x）在a,b】上具有直到
阶的连续导数。
_TA=
4、向量X=（1,-2），矩阵
AX1
-3
，cond（A）oo
-2
1丿，则
5、为使两点的数值求积公式:
X2=
x1=
6、设ARnn
■1
2
1
7、设-4
三、简答题：
（9分）
at
01
=A，则"（A）（谱半径）
A2。
（此处填小于、大于、等于）
四、（10分）已知数值积分公式为：
hh2''
f（x）dx[f（0）f（h）]巾[f（0）一f（h）]
02，试确定积分公式中的参数■，使其代数精确度尽量
高，并指岀其代数精确度的次数。
五、（8分）已知求a（a■0）的迭代公式为：
证明：
对一切k=1,2,…，Xk_a，且序列％•'是单调递减的，从而迭代过程收敛。
ff（x）dx%?
[f
（1）+f
（2）]
-02是否为插值型求积公式？
为什么？
其代数精度是多少?
九、（9分）设;；：
n（xb?
是区间[a,b]上关于权函数w（x）的直交多项式序列，Xi（i72,…，n,nT）为
「n1（X）f的零点，
li（x）（i~1,2,1n,n1）是以N』为基点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数，
bn1
af（x）w（x）dx八Akf（Xk）akT为高斯型求积公式，证明：
n1
Ad（Xi）「j（Xi）=0
（1）
当0兰k,j兰n,k式j时，—
b
lk（x）lj（x）w（x）dx=0（k=j）
（3）
十、（选做题8分）
Xj（i=0,1,,n）互异，求f[x0>x1,,xp]的值，其中
若f（X）二j1（X）=（X-X°）（X-人）（X-Xn），
p弐n1
o
数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
（1）（2分）改变函数f（x）二、x・1「x（x1）的形式，使计算结果较精确
（2分）若用二分法求方程fx=0在区间［1,2］内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。
•2丄2\
x+x2
x1x2
（6分）写出求方程4x=cosx1在区间［0,1］的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算-115的近似值，并利用余项估计误差。
1沁dx
‘x的近似值，要求误差限为
（10分）求fx二ex在区间［0,1］上的1次最佳平方逼近多项式。
I="
（10分）用复化Simpson公式计算积分0
0.510*
O
（10分）用Gauss列主元消去法解方程组:
+4x2+2x3
=24
<3捲+x2+5x3
1
=34
1
2x^6x2+x3
=27
f\X1
12
<11」
区2丿
分）求方程组
5
2
1的最小二乘解
（8）（8分）已知常微分方程的初值问题：
'dy/dx=Xy，1兰x"2
（9）丿⑴=2
（10）用改进的Euler方法计算y（12）的近似值，取步长h=0.2
（12分，在下列5个题中至多选做3个题）
（1）（6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足:
⑵p1=15，p'1=20，p''1=30，p2=57，p'2=72
（3）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:
〔101、
A=
（5）（6分）用幕法求矩阵I1b的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至
特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05，取特征向量的初始近似值为1,°丁。
（6）（6分）推导求解常微分方程初值问题
⑺y'x二fx,yx,a乞x乞b,ya=y。
（8）的形式为yi1二yihX，i=1,2,…,N
（9）的公式，使其精度尽量高，其中f
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