二级倒立摆模糊控制设计Word格式文档下载.docx
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Keywords:
doubleinvertedpendulum，optimalcontrol，fuzzycontroller
绪论
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论设计及测试的理想实验平台。
倒立摆系统控制涉及到机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域。
其被控系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究[1]。
同时,由于实际机械系统中存在的各种摩擦力，实际倒立摆系统亦具有一定的不确定性。
倒立摆系统的控制涉及到许多典型的控制问题：
非线性问题、随动及跟踪问题、鲁棒性问题、非最小相位系统的镇定问题等等。
正是由于倒立摆系统的特殊性，许多不同领域的专家学者在检验新提出理论的正确性和实际可行性时，都将倒立摆系统作为实验测试平台。
再将经过测试后的控制理论和控制方法应用到更为广泛的领域中去[1]。
如：
把一级倒立摆的研究成果应用到对航空航天领域中的火箭发射推进器和卫星飞行状态控制的研究；
把二级倒立摆的研究成果应道到双足机器人行走控制中[2]。
所以说，对倒立摆系统控制理论的研究不仅具有理论研究价值，也具有相当的实际工程应用价值。
倒立摆系统的传统控制方法主要是使用经典控制理论和现代控制理论。
它们都以精确的系统数学模型为控制对象。
经典控制理论在线性定常、输入输出量较少的系统中能很好的完成控制设计指标，经典控制理论的数学基础是拉普拉斯变换，占主导地位的分析和综合方法是频率域方法。
而现代控制理论是建立在状态空间分析法上的，基本分析方法是时域分析法。
这种方法能够克服经典控制理论的缺陷：
能够解决系统的输入输出变量过多、系统的非线性等问题。
现代控制理论已经在工业生产过程、军事科学、航空航天等许多方面都取得了成功的应用。
例如极小值原理可以用来解决某些最优控制问题；
利用卡尔曼滤波器可以对具有有色噪声的系统进行状态估计；
预测控制理论可以对大滞后过程进行有效的控制。
但是它们都有一个基本的要求：
需要建立被控对象的精确数学模型[3]。
随着科学技术的迅猛发展，各个领域对自动控制控制精度、响应速度、系统稳定性与适应能力的要求越来越高，所研究的系统也日益复杂多变。
然而由于一系列的原因，诸如被控对象或过程的非线性、时变性、多参数间的强烈耦合、较大的随机干扰、过程机理错综复杂、各种不确定性以及现场测量手段不完善等，难以建立被控对象的精确模型[4]。
虽然常规自适应控制技术可以解决一些问题，但围是有限的。
对于像二级倒立摆这样的非线性、多参数、强耦合的被控对象，使用传统控制理论难以达到良好的控制性能。
而模糊控制理论能够克服这些困难，达到实际设计要求。
1倒立摆系统的建模
1.1倒立摆系统的特性分析
直线型二级倒立摆系统是典型的机械电子系统。
这种倒立摆系统具有如下特性：
（1）.开环不稳定系统。
倒立摆系统有两个平衡状态：
竖直向下和竖直向上。
竖直向下的状态是系统稳定的平衡点，而竖直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开竖直向上的状态而进入到竖直向下的状态中。
（2）.不确定性。
主要是指建立系统数学模型时的参数误差、测量噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。
（3）.耦合特性。
倒立摆摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。
这既是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也是使得控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂的原因。
（4）.仿射非线性系统。
倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。
（5）.欠冗余性。
一般地，倒立摆控制系统采用单电机驱动，因而它与冗余结构，比如说冗余机器人有较大不同。
之所以采用欠冗余是要在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或者有效的空间。
由于以上倒立摆的特性，在建模时，为了简单起见，忽略系统中一些次要的难以建模的因素，如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性以及传动齿轮的间隙等等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样不仅可以简化分析，而且可以建立系统较为精确的数学模型。
1.2二级倒立摆系统的数学建模
二级倒立摆系统如图2.1所示。
二级倒立摆装置由沿导轨运动的小车和通过转轴固定在小车上的摆体组成。
在导轨一端装有用来测量小车位置的光电编码器。
摆体与小车之间、摆体与摆体之间有转轴连接，并在连接处有两个光电编码器分别用来测量下摆和上摆的角度。
下摆和上摆可以绕各自的转轴在水平导轨上左右运动，从而使倒立摆稳定在竖直位置并且可以沿着导轨倒立行走。
图2.1二级倒立摆系统
建立系统的运动方程时，为了简化二级倒立摆系统的数学模型，忽略空气流动作用在摆杆上的力矩干扰，并做以下假设：
（1）．小车、下摆摆杆和上摆摆杆都是刚体；
（2）．皮带轮与皮带间无相对滑动，皮带不能拉伸变长；
（3）．小车与导轨之问的摩擦力与小车速度成正比；
（4）．各摆杆与转轴间的转动摩擦力矩与摆杆的角度成正比；
在建立模型时,定义二级倒立摆物理参数符号：
Ｍ,小车质量,取0.595kg
，下摆刚性摆杆质量,取0.161kg
，上摆刚性摆杆质量,取0.142kg
下摆质心
到转轴
的距离，取0.124m
上摆质心
的距离，取0.227m
下摆摆杆长度，取0.151m
上摆摆杆长度，取0.151m
下摆摆杆与垂直向上方向所夹角度
上摆摆杆与垂直向上方向所夹角度
F,倒立摆系统的控制力
x,小车的水平位移量
下摆重心的水平位移量
上摆重心的水平位移量
下摆重心的垂直位移量
上摆重心的垂直位移量
小车与平台间的动摩擦系数,取11（
）
下摆与转轴
间的摩擦阻力矩系数,取0.00324（
上摆与转轴
间的摩擦阻力矩系数,取0.000774（
下摆到下摆质心
的转动惯量,取0.00284（）
上摆到上摆质心
的转动惯量,取0.002433（）
1.2.1基于牛顿力学的二级倒立摆系统数学模型建立
（1）.对上摆进行受力分析：
对上摆列转矩平衡方程，可得
（2-1）
对上摆列水平方向受力方程，可得
（2-2）
对上摆列垂直方向受力方程，可得
（2-3）
（2）.对下摆进行受力分析：
对下摆列转矩方程，
（2-4）
（3）.对整个倒立摆系统进行受力分析：
（2-5）
联立上面所有方程，并消去
，
可得二级倒立摆模型方程：
（2-6）
（2-7）
（2-8）
1.3二级倒立摆系统数学模型的线性化处理
为了简化分析过程,必须对二级倒立摆系统数学模型进行一定的简化。
对于上面分析的二级倒立摆系统，选取平衡点位置为：
对于系统在平衡点附近线性化并忽略高次项后，可将上式（2-8）改写为：
（2-9）
其中，
式（2-9）两端同乘以，可得：
（2-10）
令
;
则式（2-10）为：
其中，
且在实际系统中，测量上摆角度信号的电位器是安装在下摆顶端的轴承上，所以实际上摆电位器测得的上摆角信号是
，为了与实际角度采集系统相符合，同时也为了简化计算，做出如下变换：
于是有，
（2-11）
取状态变量：
于是线性化后的六阶状态方程如下：
（2-12）
2线性二次型最优控制（LQR）的方案设计
最优控制是现代控制理论的核心。
最优控制研究的主要问题是：
根据已经建立的被控对象的数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行
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