数模论文之灾情巡视路线相对优化方案Word格式.docx

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关键词：

WinQSBmatlab图论软件包最小生成树

1.问题重述

1.1问题的提出

下图为某县的乡镇、村公路网络示意图，公路边的数字为该路段的公里数。

今年夏天某县遭受水灾。

为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡镇、村巡视，巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡镇、村，又回到县政府所在地的路线。

1.2需要解决的问题

问题1：

若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线图。

问题2：

假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。

要在24小时内完成巡视，至少应分几组；

给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。

问题3：

在上述关于T,t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；

给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。

问题4：

若巡视组数已定（如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。

2.问题分析

2.1问题一的分析

此题要求我们分三组巡视路线，使三组的总路程最小且各组尽可能的均衡，为此我们可以考虑建立以三组巡视路线总路程值最小和三组路程的均衡度两个目标函数的模型。

首先我们可以运用WinQSB构造巡视图的最小生成树，然后以最小生成树的主干将生成树分成三组，分别构造出每组总路线值最小的回路，如果以上两个目标值不佳，我们还可以重新分组，进过多次调整达到较为合理的结果。

2.2问题二的分析

此问在第一问基础上增加了时间限制，要求在24小时内完成巡视，我们算得完成巡视所需的总停留时间为69小时，如果按照第一问中分三组巡视，完成巡视所需的总停留时间应该不大于

小时，则每辆汽车行驶的时间不能超过

小时，而车行驶速度为35公里/每小时，这显然不能满足需求，为此我们考虑至少需要分四组，如果分四组，完成巡视所需的总停留时间应该不大于

小时，在这种情况下，巡视的总路程的最大值为

公里，我们以题一巡视总路程609.3公里为参考值，将巡视人员分为四组是可行的，然后我们分别以四组巡视的总路程、四组路程均衡度、四组完成巡视的停留时间和时间均衡度为目标函数建立模型，并重点考虑四组完成巡视的停留时间和时间均衡度为目标函数建立模型。

2.3问题三的分析

此题在第二问基础上放宽了条件，即巡视人员不受限制，此时完成巡视的时间由离县政府最远的乡（镇）或村决定要求完成巡视的最短时间，我们只要求离

点最短距离最大的巡视点，然后算出行驶时间与在巡视点停留的时间之和即为完成巡视的最短时间，在最短巡视时间要求下，如果我们可以分足够多的组，必定能完成巡视人物，但考虑到这在现实生活中是不可能的，所以我们应该在满足条件的基础上尽量减少巡视组数，然后求出最小生成树后可以对每个结点进行遍历，借助图论软件包进行协助，这样可以求出最佳的巡视路线，

2.4问题四的分析

假设该问题是己定分三组的情形,且要求在尽快完成巡视的情况下讨论

由问题一的求解结果可知,第三组巡视路线较第一组、第二组巡视路线费时,故我们不妨讨论在

3.模型假设

假设一：

汽车在路上的速度时一定的，不会出现抛锚等现象。

假设二：

巡视过程中，在每个乡镇、村停留时间一定，不因特殊情况而延误时间。

假设三：

每个小组的汽车行书速度基本相同。

假设四：

分组后，各小组只能走自己区内的路，不能走其它小组的路，出公路外。

假设五：

忽略人员上下车的时间，因此村镇被巡视一次后，再次经过时会停留让人员上车，但时间不计入总时间计算。

假设六：

巡视时可以经过一条路多次

4.符号约定

巡视人员在各乡停留时间

巡视人员在各村停留时间

第

组巡视人员巡视总时间

巡视总时间

汽车行驶速度

汽车行驶总路程

各组汽车行驶路程

各组路程均衡度

分组组数

各组巡视的村庄数目

各组巡视的乡镇数目

赋权连通图

的第

个子图

个子图的顶点数

乡（镇）的巡视数（

）

村的巡视数

是各巡视组中最长的路程

各组时间均衡度

5.数据处理

为了便于制定出最佳的巡视路线，首先我们运用WinQSB求得巡视路线图的最小生成树：

图1最小生成树

Node数值与地图中字符的对应表

Node

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

字符

O

A

B

C

D

E

F

G

H

I

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

J

K

L

M

N

P

Q

R

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

6.问题一的解答

针对问题一我们建立模型一

6.1模型一的建立

6.1.1确定目标函数

根据题意，根据题目信息，我们将巡视路线图抽象为一个赋权无向连通图

，现要分三组进行巡视，则需要将

分成三个子图

，在每个子图

中寻找路程最小的回路

，于是我们以汽车行驶总路程和各组行驶路程的均衡度为目标函数：

6.1.2确定约束条件

各组行驶路线路程最小值：

则行驶路线总路程最小值：

根据路线巡视图可知，除县政府意外有52个巡视点，则各组巡视点之和应该满足

且各组行驶路程的均衡度

应该小于0.1才算比较均衡即

6.1.3综上所述，得到问题一的模型

6.2模型一的求解

6.2.1确定准则

为了设计出更为合理的巡视路线，我们规定了以下准则

准则一：

尽量使同一支干上集分支上的点分在同一组；

准则二：

尽量使相邻干支上的点分到同一组；

准则三：

尽量将长的干支与短的干支分到同一组

6.2.2求解过程

在以上准则前提下，我们根据最小树分块原则，将图

初步分块成三个子图

，提出了三种设计方案，每种方案是在前种方案基础上进行调整，最终确定方案三时最佳的。

设计方案一：

我们根据分组原则确定第一条分组方案，方案一如下

表一：

巡视路线图1

组号

巡视路线

巡视路程

O~1~B~34~35~32~31~33~A~R~29~Q~30~Q~28~27~26~P~O

154.0

O~P~26~N~24~23~21~K~22~17~16~I~18~I~15~14~H~14~13~J~19~L~20~25~M~0

239.3

O~2~5~6~7~E~9~F~10~F~12~G~11~E~8~4~D~3~C~O

185.2

此种情况下总的行驶路程为：

公里，

路程的均衡度为：

方案一结果分析

由计算结果可知，行驶总路程

，结果较满意，但均衡度

，说明此分组方案明显不能达到均衡的要求，故需重新调整分组方案，为此我们考虑第二种分组方案。

设计方案二：

鉴于方案一不能满足要求，故我们提出来方案二，方案二如下

表二：

巡视路线图2

巡视线路

O~1~B~34~35~32~31~33~A~R~29~Q~30~Q~28~27~24~23~N~26~P~O

192.3

O~M~25~21~K~17~22~17~16~I~18~I~15~14~H~14~13~J~19~L~20~25~M~0

223.0

此种情况下总的行驶路程为：

方案二结果分析

此结果虽然较第一种行驶总路程有所增加，但均衡度明显有所改善，考虑到此时均衡度

仍然大于0.1，故我们需进一步改进。

设计方案三：

分析表2可知，第二组与第三组走的路程间的差值还是比较大，也就是说这样分组的均衡性还有待改善。

于是，我们在基于最小生成树的原则之上对初步改进后的分组进行适当的调整。

为了缩小第二、三组间的路程差，首先，我们将第二组的H点分到第三组；

然后采用上述中同样的方法求解得到最终改进后各组的巡视路线图见表3。

第三组方案如下

表三：

巡视路线图3

O~P~26~N~23~24~27~28~Q~30~29~R~A~33~31~32~35~34~B~1~O

197.6

O~P~26~N~25~21~K~22~17~16~18~I~15~14~13~J~19~L~20~25~M~O

204.9

O~C~3~D~4~8~E~9~F~10~F~12~H~12~G~11~E~7~6~5~2~O

206.8

方案三结果分析

经调整以后计算发现，总的行驶路程有所增加，但增加不大；

路程的均衡度

已经满足要求，故我们认为方案三是合理的分组方案，下图是我们确定的具体的三组巡视路线图

三组巡视路线图

7.问题二的解答

针对问题二，我们建立了模型二。

7.1模型二的建立

7.1.1确立目标函数

此题在要求在24小时内完成巡视，且各乡（镇）停留时间T