工程流体水力学第四章习题答案Word格式文档下载.docx
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yx
4-5已知Ux—2,uy—2,uz0,试求该流动的速度势函数，并检查速度
xyxy
势函数是否满足拉普拉斯方程。
（1）在习题3-19中，已判别该流动为有势流，所以存在速度势函数。
duxdxUydy2y2dx―dy
ydxxdy
22
xy
1C）2
d（$）
x
积分上式可得
yarctan二
2
⑵「
—（」）
xxy
y
2xy
2\2
（xy）
满足拉普拉斯方程。
-^）
22t
（xy）_2xy2
4—6已知Ux
迹线方程。
⑴在习题线方程即为流线方程。
（x2
2、2
y）
3-8中,
dUxdy
Uydx
Uy
uz0，试求该流动的流函数
已判别该流动满足连续性方程，所以存在流函数
y~2x
和流线方程、
。
等流函数
^^dy
ln（x2
（2）迹线方程
dx
y2）
Ux
dy
U：
，
—dyyd（x2
（x2ydy
In（x2
4—7已知
）xdx
xdx
x2
~22
y2）ydy
22、
d（xy）
ux=—ky,uy=kx,形状（k是不为零的常数）。
Uz=0，
试求该流动的流函数和流线方程、
迹线方程及其
流函数和流线方程：
d
k
uxdyuydxkydykxdx[d（x
y2）]
2x
迹线方程：
业
dz
-ky
kx
r,
z
C
由上式可知，流线为平行于Oxy平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的
迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。
4—8已知Ux=4x,Uy=—4y,试求该流动的速度势函数和流函数，并绘出流动图形。
解：
由习题3—8和3—19,可知该流动存在流函数和速度势函数。
）齐sinf（）
ux4x,-
uy
4y
d
uxdxuydy
4xdx
4ydy
2d（x2
积分上式可得：
2（x2
ux4x,一
uxdyuydx
4xdy
4ydx
4d（xy）
4xy
流动图形如题
4—16图所示。
4—9已知
Q=a（x2—y2
）,式中
a为实数且大于零。
试求该流动的流函数
式中M是不为零的常数。
试求该流动的流函
M
COS
——df（）cosdf（
2n
上式对p取偏导数，则
2sinf（）u
又u2sin
由上两式可得f'
（）0,艮卩f（）=常数。
因此可得
sin
2n
上述流动即为偶极流。
流动图形可参照题4—10图。
4—11已知流函数=3x2y—y3,试判别是有势流还是有涡流。
证明任一点的流速大小
仅取决于它与坐标原点的距离p。
ux
3x3y,uy6xy
uxy
6y,6y，所以是有势流。
22222、22222、24
uuxuy9（xy）36xy9（xy）9
u3，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。
0,k是不为零的常数，如图所
4-12设水平面流场中的速度分布为UU,U
示。
试求流场中压强p的分布。
设p=g,Uj=0处的压强为p书水的密度为p。
式可知，压强p随半径p的减小而降低。
4-13水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转流动，水面成一漏斗
形，如图a所示。
流速场在平面内，如图b所示，可表示为uu,Up=0,k是不为零
的常数。
试求自由水面曲线的方程式。
该流体流动除原点（p=0）外，是有势流。
因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流，流动剖面如图所示。
当p时，水面高程为h;
另取自由表面上任意点M，对上述两点写伯努利方程，可得
式中k是不为零的
4-14直角（90°
）弯头中的流动，设为平面势流，如图所示。
已知弯头内、外侧壁的曲率半径「1、「2分别为0.4m和1.4m，直段中均匀来流的流速为10m/s,流体密度为1.2kg/m3。
试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。
由例4—6（如题4-14图所示）知弯段内的流速分布为u
（注：
外侧压强大）
4-17兰金（Rankine）椭圆。
均匀直线流沿x轴方向的速度为u；
源流强度与汇流强度均为q,汇点置于x轴上，位于源点的右边，他们与坐标原点0的距离均为a。
如果将上述
组合成的复合势流的流函数=0时的流线方程，用固体边界来代替，这个轮廓线称兰金椭
圆，如图所示。
试求该椭圆长半轴I、短半轴b的方程。
q
（arctan—
2nx
a
yarctan）
xa
速度分布为
u
（xa）
q（xa）
（xa）2
2n（xa）y
（x
\22
a）y
（xa）y
因为驻点速度为零，
即
ux0,
Uy
0解上两式可得驻点位置
（Xs,ys或s,
ys0。
s）为
qaun'
sa』l
Vaun
（即为椭圆长半轴）
s0,
n。
通过驻点的流线的流函数
s，对于
12
n,sin
sinn
0,则由上述复合势流
的流函数表示式可得s
usinn
n
qn0。
所以
0的流线方程即为
Xs
uy2（arctan-^arctan-^）0。
如果用固体边界来代替上式所表达的流线，这
2nxaxa
个物体的轮廓线即为兰金椭圆，它的短半轴b，可将x0，yb代入上式，由试算求得。
实际流体绕经上述物体时，在其后尾部将形成涡流（在第八章中要介绍），与上述流动的
情况不同，所以不能按上述方法求解。
但是，在物体的前端部，由于边界层（在第八章中要介绍）很薄，且流动处于加速区，按上述理论推算与实测结果很相符合。
4—18源流和汇流的强度q均为60m2/s，分别位于x轴上的（一a,0）、（a,0）点，a为3m。
计算通过（0,4）点的流线的流函数值，并求该点的流速。
—（arctan—2nxa
通过（0,4）点的流线的流函数值为
3044
（arctanarctan）
n33
（0,4）点的流速为
22y
解:
通过
_q
2n（xa）
qr
yarctan）xa
60y
（arctan
2/x3
yarctan）
x3
2/（xa）2
30—[2
4arctan一
3
n]12.29
J
22」（xa）y
60
222]y（xa）y
3_
2n324232
60（4
~~（72"
2）m/s2.29m/s
4
）m/s0m/s
3242
4—19向右的水平均匀直线流和顺时针的环流及源流（均在原点）相叠加，如图所示。
试求用直角坐标形式来表示的流速分量和驻点位置。
uy——In（x2
4n
y2）—arctan‘
驻点的
2y
2n（xy）
亦yqx）
2x
4nx2y2）
q（y）]qyx
2n（x2y2）2n*2y2）
uxuy0，所以
yqx
2n（y2）
（qxy）
2nX2y2）
qyx
22~
2nxy）
[qxx]
2n[（—x）2]2n
q（q）
4-20设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。
已知圆柱体中心位于坐标原点半径为ro=im；
均匀直线流速度u=3m/s。
试求x=—2m,y=1.5m点处的速度分量和（Ux,Uy）。
（0,0）,（up,u）
22\xy
arctan—
..
（2）21.52m2.5m
15
arctan—143.13°
（第二象限）
1
3cos143.13°
（12）m/s2.02m/s
2.52
usin（1
由图中可知,
180°
uxucosusin
3sin143.13°
（12）m/s2.09m/s
143.13°
36.87°
，所以
'
（u、u均取正值）
ux=（2.02?
cos36.87°
2.09?
sin36.87°
）m/s=2.87m/s
uyucosusin（2.09cos36.87°
2.02sin36.87°
）m/s0.46m/s
4-21设一均匀直线流绕经一圆柱体，如图所示。
已知圆柱表面上的流速分布为u=—
2usin,up=0,u是均匀直线流速度。
试证明作用于圆柱表面上的压强在x轴及y轴方向的
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