中考数学创新开放与探究型问题专题复习Word文件下载.docx

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1．观察下列各式：

，

，…想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？

设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律．

【思路点拨】

所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得出规律.

【答案与解析】

所给各式中的两个数中，一个是分数，一个是整数，且分数的分子比分母大1，分子与整数相等，因此得到规律：

（n为正整数）

【总结升华】

这个规律是否正确呢？

可将等式左右两边分别化简，即能得出结论．对于“数字规律”的观察，要善于发现其中的变量与不变量，以及变量与项数之间的关系，将规律用代数式表示出来．

举一反三：

【变式】一根绳子，弯曲成如图（a）所示的形状，当用剪刀像图（b）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；

当用剪刀像图（c）那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子被剪为9段，当用剪刀在虚线a，b之间把绳子再剪（n-2）次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时，绳子的段数是________（用含n的代数式表示）．

【答案】

首先，在剪0次时，有1段绳子；

其次，每剪一次，绳子上多出4个断口，即绳子的段数增加4段，剪n次之后绳子的段数多出4n段．故剪n次时，绳子的段数是4n+1（n为正整数）．

类型二、条件开放型

2．如图所示，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E，F是对角线AC上的点．

（1）若________________________，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；

（2）证明你的结论．

（1）已知了一边AD=BC，和一角（AD∥BC，∠DAC=∠BCA）相等．根据全等三角形的判定AAS、SAS、ASA等，只要符合这些条件的都可以．

（2）按照

（1）中的条件根据全等三角形的判定进行证明即可．

解：

（1）AE＝CF；

（OE＝OF；

DE⊥AC，BF⊥AC；

DE∥BF等等）

（2）以AE＝CF为例．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，∠DCE＝∠BAF．

又∵AE＝CF．

∴AC－AE＝AC－CF．

∴AF＝CE，∴△DEG≌△BAF．

这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的一般方法是：

从结论出发，由果寻因，逆向推理，探寻出使结论成立的条件；

有时也采取把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考察．

【创新、开放与探究型问题例1】

【变式】如图，飞机沿水平方向（A，B两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离），请设计一个求距离MN的方案，要求：

（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；

（2）用测出的数据写出求距离MN的步骤．

此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理，可参照给分

⑴如图，测出飞机在A处对山顶的俯角为

，测出飞机在B处对山顶的俯角为

，测出AB的距离为d，连接AM，BM．

⑵第一步，在

中，

∴

；

第二步，在

其中

，解得

．

类型三、结论开放型

3．已知：

如图（a），Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°

，试以图中标有字母的点为端点，连接两条线段，如果你所连接的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明．

此题需分三种情况讨论：

第一种相等CD=BE，第二种垂直AF⊥BD，第三种是平行DB∥CE．首先利用全等三角形的性质，再利用三角形全等的判定定理分别进行证明即可．

可以写出的结论有：

CD＝BE，DB∥CE，AF⊥BD，AF⊥CE等．

（1）如图（b），连接CD，BE，得CD＝BE．

证明：

∵△ABC≌△ADE，

∴AB＝AD，AC＝AE．

又∠CAB＝∠EAD，∴∠CAD＝∠E1AB．

∴△ADC≌△ABE．

∴CD＝BE．

（2）如图（c），连接DB，CE，得DB∥CE．

∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB．

∴∠ADB＝∠ABD．

∵∠ABC＝∠ADE，

∴∠BDF＝∠FBD．

由AC＝AE可得∠ACE＝∠AEC．

∵∠ACB＝∠AED，∴∠FCE＝∠FEC．

∵∠BDF+∠FBD＝∠FCE+∠FEC，

∴∠FCE＝∠DBF．

∴DB∥CE．

（3）如图（d），连接DB，AF，得AF⊥BD．

∴AD＝AB，∠ABC＝∠ADE＝90°

又∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF．

∴∠DAF＝∠BAF．

∴AF⊥BD．

（4）如图（e），连接CE、AF，得AF⊥CE．

同（3）得∠DAF＝∠BAF．

可得∠CAF＝∠EAF．

【总结升华】本题考查了全等三角形的判定及性质；

要对全等三角形的性质及三角形全等的判断定理进行熟练掌握、反复利用，达到举一反三．

【创新、开放与探究型问题例2】

【变式】数学课上，李老师出示了这样一道题目：

如图

，正方形

的边长为

，P为边

延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N.当CP=6时，EM与EN的比值是多少？

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

过E作直线平行于BC交DC，

分别于F，G，如图

，则可得：

，因为

，所以

.可求出

和

的值，进而可求得EM与EN的比值.

（1）请按照小明的思路写出求解过程.

（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了

的结论.你认为小东的这个结论正确吗？

如果正确，请给予证明；

如果不正确，请说明理由.

（1）解：

过

作直线平行于

交

分别于点

，

则

.

∵

，∴

.

∴

（2）证明：

作

∥

于点

.∴

类型四、动态探究型

4．如图所示，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧

上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为．ED的延长线一点．

（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切？

为什么？

（2）点D在劣弧

的什么位置时，才能使AD2＝DE·

DF？

（1）连接OC．要使PC与⊙O相切，则只需∠PCO＝90°

即可．由∠OCA＝∠OAC，∠PFC＝∠AFH，即可寻找出△PCF所要满足的条件；

（2）要使AD2＝DE·

DF，即

，也就是要使△DAF∽△DEA，这样问题就较容易解决了．

（1）当PC＝PF（或∠PCF＝∠PFC，或△PCF是等边三角形）时，PC与⊙O相切．

连接OC．∵PC＝PF，∴∠PCF＝∠PFC．

∴∠PCO＝∠PCF+∠OCA＝∠PFC+∠OAC＝∠AFH+∠AHF＝90°

∴PC与⊙O相切．

（2）当点D是

的中点时，AD2＝DE·

DF．

连接AE，∵

，∴∠DAF＝∠DEA．

又∴∠ADF＝∠EDA．

∴△DAF∽△DEA．

，∴AD2＝DE·

本题是探索条件半开放题，在解决这类问题时，我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件．如第

（1）小题中，若要PC与⊙O相切，则我们需要怎样的条件；

第

（2）小题也是如此．

类型五、创新型

5．认真观察图3的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征．

特征1：

_________________________________________________；

特征2：

_________________________________________________．

（2）请在图4中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征

本题主要考查轴对称图形，中心对称图形的知识点，以及学生的观察能力及空间想象能力．

（1）特征1：

都是轴对称图形；

都是中心对称图形；

特征3：

这些图形的面积都等于4个单位面积等．

（2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，就可以得满分．

图5

本题为开放型试题，答案并不唯一，只要考生能够写出一种符合要求的情景即可，该题为考生提供了一个广阔的发挥空间，但是学生必须通过前四个图形发现其中蕴涵的规律，依照此规律来画出自己想象中的美妙图形．

中考冲刺：

创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+（n+1）+（n+2）”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：

2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；

4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；

51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（　　）

A．0.88B．0.89C．0.90D．0.91

2．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°

，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图

（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称图

（2）中的1，4，9，16，…，这样的数为