最新线性代数自考知识点汇总.docx

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最新线性代数自考知识点汇总

线性代数自考知识点汇总

行列式

1.行列式的性质

性质1行列式与它的转置行列式相等.

性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.

推论1如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.

如

性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.

如

推论2　如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．

如

性质4　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.

如

性质5　把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变.

如

2.余子式与代数余子式

在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记作，叫做元素的代数余子式．

如，元素的余子式为，

元素的代数余子式为.

3.行列式按行（列）展开法则

定理1行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

或

如

定理2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

或

4.行列式的计算

（1）二阶行列式

（2）三阶行列式

（3）对角行列式，

（4）三角行列式

（5）消元法：

利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.

（6）降阶法：

利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.

（7）加边法：

行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.

矩阵

1.常见矩阵

1）对角矩阵：

主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ.

2）单位矩阵：

主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E.

3）上三角矩阵：

对角线以下的元素全为0的方阵.如

4）下三角矩阵：

对角线以上的元素全为0的方阵.如

5）对称矩阵：

设A为ｎ阶方阵，若，即，则称A为对称矩阵.

6）反对称矩阵：

设A为ｎ阶方阵，若，即，则称A为反对称矩阵.

7）正交矩阵：

设A为ｎ阶方阵，如果或，则称A为正交矩阵.

2.矩阵的加法、数乘、乘法运算

（1）矩阵的加法

如

注：

①只有同型矩阵才能进行加减运算；

②矩阵相加减就是对应元素相加减.

（2）数乘矩阵

如

注：

数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.

（3）矩阵的乘法：

设，规定

其中

注：

①左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数；

②左矩阵A的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积C的元素.

③左矩阵A的行数为乘积C的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数.

如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即

列矩阵乘行矩阵是s阶方阵，即

3.逆矩阵

设n阶方阵A、B，若AB=E或BA=E，则A，B都可逆，且.

（1）二阶方阵求逆，设，则（两调一除法）.

（2）对角矩阵的逆，

.

（3）分块对角阵的逆

.

（4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：

.

4.方阵的行列式

由ｎ阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式.记作或det（A）.

5.矩阵的初等变换

下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

（1）互换两行（列）；

（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）.

6.初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.

如都是初等矩阵.

7.矩阵的秩

矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩.记作R（A）或r（A）.

求矩阵的秩的方法：

（1）定义法：

找出A中最高阶的非零子式，它的阶数即为A的秩.

（2）初等行变换法：

行阶梯形矩阵，R（A）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数.

8.重要公式及结论

（1）矩阵运算的公式及结论

矩阵乘法不满足交换律，即一般地AB≠AB;

矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A可逆时，有B=C.

一般地若AB=O，则无A=O或B=O.

.

（2）逆矩阵的公式及定理

A可逆|A|≠0A～E（即A与单位矩阵E等价）

（3）矩阵秩的公式及结论

R（AB）≤R（A）,R（AB）≤R（B）.

特别地，当A可逆时，R（AB）=R（B）；当B可逆时，R（AB）=R（A）.

即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩.

9.矩阵方程

（1）设A为n阶可逆矩阵，B为n×m矩阵，则矩阵方程AX=B的解为；

解法：

①求出，再计算；

②.

（2）设A为n阶可逆矩阵，B为m×n矩阵，则矩阵方程XA=B的解为；

解法：

①求出，再计算；

②.

10.矩阵间的关系

（1）等价矩阵：

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A与B等价.

即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B.

性质：

等价矩阵的秩相等.

（2）相似矩阵：

如果存在可逆矩阵P，使得,那么称A与B相似.

性质：

相似矩阵有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式，相同的迹.

（3）合同矩阵：

如果存在可逆矩阵P，使得，那么称A与B合同.

性质：

合同矩阵的秩相等.

向量空间

1.线性组合

（1）若α＝kβ，则称向量α与β成比例．

（2）零向量Ｏ是任一向量组的线性组合．

（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．

2.线性相关与线性无关

（1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量．

（2）单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．

（3）两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.

（4）两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.

（5）含有Ｏ向量的向量组一定线性相关．

（6）向量组线性相关的充分必要条件是

1齐次线性方程组有非零解.

2以向量组为列作的矩阵的秩<向量的个数m.

（7）n个n维向量线性相关的充分必要条件是

以向量组为列作的行列式的值=0.

（8）向量组线性无关的充分必要条件是

①齐次线性方程组只有零解.

②以向量组为列作的矩阵的秩=向量的个数m.

（9）n个n维向量线性无关的充分必要条件是

以向量组为列作的行列式的值≠0.

（10）当m>n时，m个n维向量一定线性相关.

定理1：

向量组a1,a2,……,am（m≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.

向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示．

定理2：

如果向量组A：

a1,a2,……,ar线性无关，而向量组a1,a2,……,ar，α线性相关，则α可由A线性表示，且表示式唯一.

定理3：

设向量组，

若A线性相关，则向量组B也线性相关；反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关.

（即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）.

定理4：

无关组的截短组无关，相关组的接长组相关.

3.极大无关组与向量组的秩

定义1如果在向量组T中有r个向量a1,a2,……,ar，满足条件：

⑴向量组a1,a2,……,ar线性无关，

⑵，线性相关.

那么称向量a1,a2,……,ar是向量组T的一个极大无关组.

定义2向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.

定义3矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。

结论1线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。

结论2如果向量组的秩是r，那么该向量组的任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。

定理1设向量组A:

a1,a2,…,ar；及向量组B:

b1,b2,…,bs，如果组A能由组B线性表示，且组A线性无关，则r≦s.

推论1等价的向量组有相同的秩.

定理2矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩＝矩阵行向量组的秩.

4.向量空间

定义1　设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间.

5.基与向量在基下的坐标

定义2设V是向量空间，如果向量组a1,a2,……,ar，满足条件：

（1）向量组a1,a2,……,ar线性无关；

（2），线性相关.

那么称向量组a1,a2,……,ar是向量空间V的一个基，基中所含向量的个数称为向量空间V的维数，记作dimV，并称V为r维向量空间．

定义3设向量组a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基，则V中任一向量x可唯一地表示为基的一个线性组合，即，

称有序数组为向量x在基a1,a2,…,ar下的坐标.

线性方程组

1.线性方程组解的判定

（1）线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是它的系数矩阵A和增广矩阵（A,b）的秩相同，

即R（A）=R（A，b）.

当R（A）=R（A，b）=r

①方程组AX=b有惟一解的充分必要条件是r=n;

②方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是r

（2）方程组AX=b无解的充分必要条件是R（A）≠R（A，b）.

2.齐次线性方程组有非零解的判定

（1）齐次方程组AX=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R（A）<未知量的个数n.

（2）含有n个方程，n个未知量的齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.（即|A|=0）

（3）齐次线性方程组AX=0中，若方程的个数m<未知量的个数n，则方程组有非零解

3.齐次线性方程组解的性质

（1）若是Ax=0的解，则也是Ax=0的解；

（2）若是Ax=0的解，则也是Ax=0的解.

4.齐次线性方程组的基础解系与通解

（1）解空间

齐次线性方程组Ax=0的全体解向量所组成的集合，是一个向量空间，称为方程组Ax=0的解空间．记作V，即V={x|Ax=0，x∈R}.

（2）基础解系

齐次方程组AX=0的解空间V的一个基，称为齐次方程组AX=0的一个基础解系.

基础解系中解向量的个数是n-r（A）.

方程组AX=0的任意n-r个线性无关的解都是AX=0的基础解系.

（3）齐次线性方程组的通解为，其中是Ax=0的一个基础解系.

5.非齐次线性方程组解的性质

（1）若是Ax=b的解，则是Ax=0的解；

即Ax=b的任意两个解的差必是其导出组Ax=0的解.

（2）若是Ax=b的解，是Ax=0的解，则是Ax=b的解.

即Ax=b的任意一个解和其导出组Ax=0的任意一个解之和仍是Ax=b的解.

6.非齐次线性方程组的通解

非齐次线性方程组AX=b的通解为

其中为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，为非齐次线性方程组AX=b的任意一个解，称为特解.

方阵的特征值

1.向量的内积

设，则x，y的内积为.

（1）向量x的长度：

（2）非零向量的单位化：

若向量x≠0,

（3）当正交.

（4）若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交组．

（5）若正交组中每个向量都是单位向量，则称它为标准正交组.

定理1正交向量组必线性无关

定理2A为正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量都是单位向量且两两正交．

（6）施密特正交化过程

设是一个线性无关的向量组，

1正交化：

令；

2单位化：

取.

则是与等价的标准正交组.

2.特征值与特征向量

（1）方阵A的特征值是特征方程的根.

（2）三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部