专升本高等数学课件知识归纳大全PPT资料.ppt

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并非任何两个函数都可以复合,（03）,（07）,（08）,（五）基本初等函数常用的有六类14个,（六）初等函数由基本初等函数（）经过有限次的和,差,积,商运算，（）有限次的复合运算，（）且可用一个公式表示的函数.非初等函数举例:

二.极限,

（一）极限定义,

（二）性质,单调有界数列必有极限.夹逼定理3.,4.四则运算（有极限;

有限个）,（三）求极限,1.两个重要极限,（06）,（03）,（09）,（10）,2.其他,举例,3.罗必塔法则,三.无穷小.无穷大,1.定义2.性质,例题（性质）,3.无穷小阶的比较（教材P27）,设,例题（阶比较）,（05）,（07）当,时，下列函数中能成为,的等价无穷小的是（D）,（B）,（C）,（D）,（A）,（09）,当时，下列四组函数中为等价无穷小的是（B）,（A）,（B）,（C）,（D）,4.等价无穷小代换定理（教材P27）,定理,结论,例题（等价无穷小代换）,四.连续与间断,

（一）连续1.2.连续三要素,3.左右连续,

（二）间断点分类,第一类（都存在的间断点）

（1）可去间断点

（2）可去间断点（3）跳跃间断点第二类（至少一个不存在的间断点）（4）无穷间断点（5）振荡间断点,（07）,（模A）,eg,（三）闭区间上连续函数的性质,定理1定理2定理3（介值定理）（教材P3132）定理4（根值定理）,（模B）,eg,（模C）,第二章导数与微分,一.导数的概念1.定义2.几何意义3.左右导数4.可导与连续的关系,（10）,二.求导数归纳,2.四则运算3.反函数求导例,1.基本导数公式,（04）,（06）,4.复合函数求导,（10）,（10）计算题,5.隐函数求导显函数-隐函数-,（09）,对数求导法,

（1）,例,6.参数方程求导,

（1）

（2）（3）（4）,（6）（09）,（5）（08）,7.高阶导数,例,例（高阶导数）,8.分断函数求导,例题（分断函数求导）,讨论在的连续性；

讨论在的可导性；

求,9.从定义求导,定义,例题（从定义求导）,（05）,（10）,则,2,（模B）,三.微分,

（一）概念1.定义2.几何意义3.微分两个特性4.微分形式的不变性

（二）计算1.公式2.四则运算,第三章中值定理.导数应用,一.中值定理

（一）RolleTh若,则至少,使,注意:

（1）条件是充分条件;

（2）条件不成立,结论未必成立.,例不求的导数,验证必有根,验证,对,的正确性,RolleTh,不求的导数,说明有几个实根,并指出根所在区间.,（10）,

（二）LagrangeTh,若,则至少,使,推论:

若在则在,例题（LagrangeTh）,证明:

例题（LagrangeTh）,验证在对LagrangeTh的正确性;

验证在对LagrangeTh的正确性;

证明:

对,恒有,证明:

当恒有,（三）CauchyTh,若,则至少,使,二.罗必塔法则,定理:

若则,罗必塔法则几种形式,例题（罗必塔法则）,注意,

（1）只有,才可考虑用Th

（2）每次用Th后,必须化简不能断定不存在,.只能说明Th失效,（4）还原例子,例题（罗必塔法则）,（03）,三.单调性.极值.凹凸.拐点.作图,

（一）单调性Def1Th1,例题（单调性）,（10）,讨论单调性,极值步骤,1.求2.求驻点与不可导点3.由两种点分D（f）为若干区间,由Th判别单调性,极值.,例题（单调性证明不等式）,

（二）极值,Def2.定义在,在,例题（极值）,求极值,求极值,求极值,极值判别法,在,可导,在连续.,Th2,极值判别法,Th3,极值存在的必要条件,Th4,极值点可从驻点与不可导点找1.可导函数的极值点驻点2.不可导点也可能取得极值,举例,驻点取得极值,驻点不取得极值,不可导点不取得极值,不可导点取得极值,（三）最大值.最小值,1.一般情况只有一个极大（小）值而无极小（大）值则,例题（最大值.最小值）,例题（最大值.最小值）,无盖圆柱形水池,体积定值V,底造价是侧面造价的2倍.问:

半径r=?

高度h=?

用费最省?

（四）凹凸.拐点,1.凹凸定义2.凹凸判别3.拐点判别4.两种特殊情况,讨论曲线凹凸与拐点步骤,1.求2.求使与不存在的点3.由两种点分D（f）为若干区间,由Th判别曲线凹凸与拐点.,（10）,eg,eg,（五）渐近线.作图,1.水平渐近线2.垂直渐近线3.作图步骤

（1）求D（f）,Z（f）

（2）奇偶性、周期性（3）单调性、极值（4）凹凸性、拐点,例,3.作图步骤（5）渐近线（6）特殊点（7）描图,第四章不定积分,4.1概念.性质4.2换元积分法,4.3分部积分法,4.4几种特殊类型函数的积分,4.1概念.性质一.原函数Def1若,说明:

1.,2.,则称,二.不定积分,不定积分的几何意义,Def2,三.基本积分公式P88,四.不定积分的性质,1.2.3.4.,例题,4.2换元积分法,换元积分法,特点,Th,

（一）凑微分举例,1.形如,凑微分举例,2.,凑微分举例,3.,凑微分举例,4.,凑微分举例,5.,凑微分举例,6.,

（二）特殊三角函数积分举例,换元积分法,Th,特点,类型,1.三角置换,类型,2.含,类型,3.,类型3（续）,4.3分部积分法,设,类型,一.,二.,三.,（分部2次,要移项）,例题（分部积分法）,例题（分部积分法）,4.4几种特殊类型函数的积分,一.有理函数积分1.有理真分式的分解,2.待定系数

（1）比较法；

（2）代入法,例,3,有理真分式的积分,例,二.三角函数有理式的积分,1.万能置换,则,例题（万能置换）,2.凑微分,三.简单无理函数的积分,第五章定积分,5.1定积分的概念5.2定积分的性质5.3微积分的基本公式,5.4定积分的换元积分法,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分,5.1定积分的概念一.引例1.曲边梯形面积2.变速直线运动的路程二.定积分的Def注

（1）2个有关;

（2）3个无关;

（3）,注（4）充分条件,三.几何意义,5.2定积分的性质,5.2定积分的性质,例题（概念.性质）1.比较大小.2.估值.,5.3微积分的基本公式,一.变上限积分二.牛顿-莱布尼兹公式,5.4定积分的换元积分法,注意：

1换元法实质：

换元同时换限2遇到被积函数含有偶次根式，注意取算术根,结论,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分,一.积分区间为无穷的广义积分二.被积函数含无穷间断点的广义积分,第五章定积分,5.7定积分的元素法5.8平面图形的面积5.9体积5.10平面曲线的弧长5.11定积分的物理应用,定积分的几何应用5.75.85.95.10,

（一）一个量Q可用定积分计算的条件

（1）Q是a,b上的定量

（2）Q对a,b具有可加性（3）x,x+dx上部分量可近似表为,简记为,

（二）元素法步骤,

（1）建立坐标系,确定积分变量

（2）求上部分量的近似值（3）定限积分求总量,定积分的几何应用,一.平面图形的面积二.体积三.平面曲线的弧长,（模A）29.求由曲线与直线所围成的平面图形的面积；

且求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

（eg）.求由曲线与它的过原点的一条切线及轴所围成的平面图形的面积；

（03）.

（1）求曲线在点的切线方程；

（2）由曲线、切线及轴所围成的平面图形的面积；

（3）求上述平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。

（eg）.求正劈锥的体积。

定积分的物理应用5.11,一.变力作功,二.液体静压力,第七章.向量代数与空间解几,7.1空间直角坐标系.一.空间直角坐标系.1.Def,八个挂限,点的坐标符号1（+,+,+）2（-,+,+）3（-,-,+）4（+,-,+）5（+,+,-）6（-,+,-）7（-,-,-）8（+,-,-）2.空间中点的坐标,二.空间两点间的距离,设点则,7.2向量代数,一.向量概念与同方向的单位向量,二.向量加法,平行四边形法则,三角形法则,三.数乘向量,7.2向量代数,四.向量在坐标轴上的投影1.两向量夹角2.向量在轴上的投影,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦点向径坐标表达式分量表达式,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦,点向量坐标表达式分量表达式,向量的模,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦向量的方向余弦,7.2向量代数,六.两向量的数量积1.Def性质,7.2向量代数,六.两向量的数量积2.公式,7.2向量代数,六.两向量的数量积3.两向量的夹角,例题（数量积）,

（1）,例题（数量积）,（05）单位向量满足则,（3）（04）,7.2向量代数,六.两向量的向量积1.Def,性质,六.两向量的向量积,性质（3）基本单位向量性质,（4）,7.2向量代数,六.两向量的向量积2.公式,7.2向量代数,六.两向量的向量积3.结论,例题（向量积）,

（1）求与垂直的单位向量,

（2）,例题（向量积）,（3）（07）满足则,（答案.6）,7.3曲面与方程,一.曲面与方程1.Def若

（1）纯粹性

（2）完备性则称为曲面S的方程,曲面S是方程的图形.,7.3曲面与方程,2.建立轨迹方程步骤

（1）设M（x,y,z）为轨迹上的任一点,依轨迹条件建立等式

（2）以M点坐标代入等式得方程（3）化简方程（4）证明（略）,7.3曲面与方程,3.曲面研究两个问题

（1）已知曲面作为点的几何轨迹，求其方程；

（2）已知曲面方程，研究曲面性质。

7.3曲面与方程,二.柱面Def动直线平行轴动直线沿定曲线平行移动（母线）（准线）说明:

三元方程少一个字母,则表示柱面,柱面准线母线母线/Z轴母线/X轴母线/Y轴,柱面（例题）,

（1）圆柱面

（2）抛物柱面（3）椭圆柱面（4）双曲柱面,7.3曲面与方程,三.旋转曲面,旋转曲面（例题）,

（1）,

（2）,7.4平面与方程,一.点法式,7.4平面与方程,二.一般式讨论,7.4平面与方程,三.截距式四.两平面夹角,7.4平面与方程,五.点到平面的距离,平面与方程（例题）,

（1）说明平面特点

（2）（3）（4）,平面与方程（例题）,（5）求两平面,夹角,（6）求P到距离,平面与方程（例题）,（7）求过的平面,（8）过三点,求,7.5空间曲线,一般方程,注:

空间曲线方程不唯一,7.5空间曲线,例题

（1）

（2）（3）,与,7.6空间直线,一.一般式方程,7.6空间直线,二.点向式（对称式）,7.6空间直线,三.参数式,7.6空间直线,四.两直线夹角,7.6空间直线,两直线的关系,7.6空间直线,五.直线与平面的夹角,7.6空间直线,五.直线与平面的夹角,7.6空间直线,直线与平面的关系,例题（空间直线）,

（1）求过且过点的平面方程

（2）求过的直线（3）求过点且垂直所在平面的直线方程,例题（空间直线）,（4）直线化为点向式（5）求两直线夹角,例题（空间直线）,（6）求过点与都平行的直线,7.7二次曲面,一.椭球面,截痕法,7.7二次曲面,二.双曲面1.单叶双曲面2.