新教材人教A版必修第二册平面向量数乘运算的坐标表示 课时作业.docx

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新教材人教A版必修第二册平面向量数乘运算的坐标表示课时作业

平面向量数乘运算的坐标表示

（30分钟　60分）

一、选择题（每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分）

1.下列各组向量中,不能作为平面内所有的向量的基底的一组是（　　）

A.a=（-1,2）,b=（0,5）

B.a=（1,2）,b=（2,1）

C.a=（2,-1）,b=（3,4）

D.a=（-2,1）,b=（4,-2）

选D.因为（-2）×（-2）-1×4=0,所以a与b共线,不能作为平面内向量的基底.

2.若=i+2j,=（3-x）i+（4-y）j（其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量）.与共线,则x,y的值可能分别为（　　）

A.1,2　B.2,2C.3,2　D.2,4

选B.由题意知,=（1,2）,=（3-x,4-y）.

因为∥,所以4-y-2（3-x）=0,即2x-y-2=0.只有B选项,x=2,y=2代入满足.

补偿训练

设向量a,b满足|a|=2,b=（2,1）,且a与b的方向相反,则a的坐标为（　　）

A.（-4,-2）　　　　B.（3,4）

C.（4,2）D.（-3,-4）

选A.因为b=（2,1）,且a与b的方向相反,

所以设a=（2λ,λ）（λ<0）.因为|a|=2,

所以4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2.

所以a=（-4,-2）.

3.若a=（x,2）,b=,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d等于（　　）

A.B.

C.（1,2）D.（-1,-2）

选D.c=（x+1,4）,d=,

因为3（x+1）=4,所以x=1.

所以c=（2,4）,d=,c-2d=（-1,-2）.

4.设向量a=（1,-3）,b=（-2,4）,若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于（　　）

A.（1,-1）B.（-1,1）

C.（-4,6）D.（4,-6）

选D.因为4a,3b-2a,c对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2（1,-3）-3（-2,4）=（4,-6）.

5.已知向量a=（1,2）,b=（0,1）,设u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值是（　　）

A.-B.-C.-D.-

选B.v=2（1,2）-（0,1）=（2,3）,u=（1,2）+k（0,1）=（1,2+k）.因为u∥v,所以2（2+k）-1×3=0,解得k=-.

6.（多选题）下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（　　）

A.e1=（0,0）,e2=（1,-2）

B.e1=（-1,2）,e2=（5,7）

C.e1=（3,5）,e2=（6,10）

D.e1=（2,-3）,e2=

选ACD.A中向量e1为零向量,所以e1∥e2;C中e1=e2,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.

二、填空题（每小题5分,共10分）

7.已知向量=（k,12）,=（4,5）,=（-k,10）,且A,B,C三点共线,则实数k的值是________. 

=-=（4-k,-7）,

=-=（-2k,-2）.

因为A,B,C三点共线,所以,共线,

所以-2×（4-k）=-7×（-2k）,解得k=-.

答案:

-

8.对于任意的两个向量m=（a,b）,n=（c,d）,规定运算“⊗”为m⊗n=（ac-bd,bc+ad）,运算“⊕”为m⊕n=（a+c,b+d）.设m=（p,q）,若（1,2）⊗m=（5,0）,则（1,2）⊕m等于________. 

由（1,2）⊗m=（5,0）,可得

解得

所以（1,2）⊕m=（1,2）⊕（1,-2）=（2,0）.

答案:

（2,0）

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.如图所示,已知点A（4,0）,B（4,4）,C（2,6）,求AC与OB的交点P的坐标.

设P（x,y）,则=（x,y）,因为=（4,4）,且与共线,所以=,即x=y.又=（x-4,y）,=（-2,6）,且与共线,则得（x-4）×6-y×（-2）=0,解得x=y=3,所以P点的坐标为（3,3）.

10.在△ABC中,已知点A（3,7）,B（-2,5）.若线段AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.

（1）若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,设点C的坐标为（x,y）,由中点坐标公式,得=0,=0,所以x=-3,y=-5,即C点坐标为（-3,-5）.

（2）若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为（2,-7）.

综合

（1）

（2）,知C点坐标为（-3,-5）或（2,-7）.

（35分钟　70分）

一、选择题（每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分）

1.已知向量a=（1,0）,b=（0,1）,c=ka+b（k∈R）,d=a-b,如果c∥d,那么（　　）

A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向

C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向

选D.若c∥d,则c=λd,所以（k,1）=λ（1,-1）,所以k=λ=-1,所以k=-1,且c与d反向.

2.已知点A（-1,1）,点B（2,y）,向量a=（1,2）,若∥a,则实数y的值为（　　）

A.5B.6C.7D.8

选C.=（3,y-1）,又∥a,所以（y-1）-2×3=0,解得y=7.

3.下列向量中,与向量c=（2,3）不共线的一个向量p=（　　）

A.（3,2）B.C.D.

选A.因为向量c=（2,3）,对于A,2×2-3×3=-5≠0,所以A中向量与c不共线.

补偿训练

　　　已知向量a=（2,3）,b=（-1,2）,若ma+nb与a-2b共线,则=（　　）

A.2　　　B.3　　　C.±2　　　D.-2

选D.向量a=（2,3）,b=（-1,2）,

则ma+nb=（2m-n,3m+2n）,a-2b=（4,-1）,

若ma+nb与a-2b共线,

所以-2m+n=12m+8n,

即14m=-7n,所以=-2.

4.（多选题）已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1,0）,（3,0）,（1,-5）,则第四个顶点的坐标是（　　）

A.（1,5）B.（-3,-5）

C.（3,5）D.（5,-5）

选ABD.设A（-1,0）,B（3,0）,C（1,-5）,

第四个顶点为D,①若这个平行四边形为▱ABCD,

则=,所以D（-3,-5）;

②若这个平行四边形为▱ACDB,

则=,所以D（5,-5）;

③若这个平行四边形为▱ACBD,

则=,所以D（1,5）.

综上所述,D点坐标为（1,5）或（5,-5）或（-3,-5）.

二、填空题（每小题5分,共20分）

5.设向量a=（1,2）,b=（2,3）.若向量λa+b与向量c=（-4,-7）共线,则λ=________. 

λa+b=（λ+2,2λ+3）,

因为（λa+b）∥c,所以-7（λ+2）=-4（2λ+3）⇒λ=2.

答案:

2

6.已知向量a=（-2,3）,b∥a,向量b的起点为A（1,2）,终点B在坐标轴上,则点B的坐标为________. 

由b∥a,可设b=λa=（-2λ,3λ）.设B（x,y）,

则=（x-1,y-2）=b.

由⇒

又B点在坐标轴上,则1-2λ=0或3λ+2=0,

所以B或.

答案:

或

补偿训练

　　　已知向量a=（,1）,b=（0,-1）,c=（k,）,若a-2b与c共线,则k=________. 

a-2b=（,3）,根据a-2b与c共线,得3k=×,解得k=1.

答案:

1

7.如图所示,在四边形ABCD中,已知A（2,6）,B（6,4）,C（5,0）,D（1,0）,则直线AC与BD的交点P的坐标为________. 

设P（x,y）,则=（x-1,y）,=（5,4）,=（-3,6）,=（4,0）.

由B,P,D三点共线可得=λ=（5λ,4λ）.

又因为=-=（5λ-4,4λ）,由与共线得,（5λ-4）×6+12λ=0,解得λ=,

所以==,所以P的坐标为.

答案:

补偿训练

　　　已知A（-1,4）,B（x,-2）,若C（3,3）在直线AB上,则x=________. 

=（x+1,-6）,=（4,-1）,

因为∥,所以-（x+1）+24=0,

所以x=23.

答案:

23

8.（双空题）已知a=（1,0）,b=（2,1）.当k=______时,ka-b与a+2b共线,若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,则m=________. 

ka-b=k（1,0）-（2,1）=（k-2,-1）,

a+2b=（1,0）+2（2,1）=（5,2）.

因为ka-b与a+2b共线,

所以2（k-2）-（-1）×5=0,得k=-.

方法一:

因为A,B,C三点共线,所以=λ,λ∈R,

即2a+3b=λ（a+mb）,所以解得m=.

方法二:

=2a+3b=（8,3）,

=a+mb=（2m+1,m）,

因为A,B,C三点共线,所以∥,

故8m-3（2m+1）=0,m=.

答案:

-　

三、解答题（每小题10分,共30分）

9.如图,已知四边形ABCD是正方形,∥,||=||,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:

AF=AE.

证明建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A（-1,1）,B（0,1）,设点E的坐标为（x,y）,

则=（x,y-1）,=（1,-1）.

因为∥,所以x×（-1）-1×（y-1）=0.　①

又||=||,所以x2+y2=2.　②

由①②联立,解得点E的坐标为.

设点F的坐标为（x′,1）,

由=（x′,1）和=共线,

得x′-=0,所以x′=-（2+）,

所以点F的坐标为（-2-,1）.

所以=（-1-,0）,=,

所以||=1+=||,即AF=AE.

10.已知向量=（3,-4）,=（6,-3）,=（5-x,-3-y）.

（1）若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满足的条件;

（2）若=2,求x,y的值.

（1）因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.

由=（3,-4）,=（6,-3）,

=（5-x,-3-y）得=（3,1）,=（2-x,1-y）,

所以3（1-y）=2-x.

所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.

（2）=（-x-1,-y）,

由=2得（2-x,1-y）=2（-x-1,-y）,

所以

解得

11.如图,在▱OABP中,过点P的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N,若=x,=y（0

（1）求y=f（x）的式;

（2）令F（x）=+x,判断F（x）的单调性,并给出你的证明.

（1）==-,=-

=x-y,

=-=（-）-x

=-（1+x）+,

又∥,有x-y（1+x）=0,

即f（x）=（0

（2）F（x）在（0,1）上为减函数.

证明如下:

由

（1）得F（x）=+x=x++1（0

设0

则F（x1）-F（x2）=-

=（x1-x2）+

=（x1-x2）=（x1-x2）,

由0

得x1-x2<0,x1x2-1<0,x1x2>0,

得F（x1）-F（x2）>0,即F（x1）>F（x2）.

所以F（x）在（0,1）上为减函数.