天然肠衣搭配的线性规划模型.docx
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天然肠衣搭配的线性规划模型
天然肠衣搭配的线性规划模型
摘要]
天然肠衣（以下简称为肠衣）制作加工是我过的一个传统产业，对我国出口经济影响深远。
本文我们将对肠衣原料的搭配方案进行深入的探讨。
我们要达到的目标有两个：
第一，先对每种规格的原料单独成捆，使其捆数尽可能多；第二，在目标Ⅰ的基础上，尽可能提高原料的利用率，在允许的误差范围内，使成品捆数达到最大化。
针对以上两个目标，我们通过大量不同模型的筛选，发现线性规划模型可以很好的解决问题，于是我们建立以下两个线性规划模型：
对于D题中的问题Ⅰ：
在题中所给两张表的数据的基础上，我们只简单的考虑每种规格的原料单独成捆，即不同类规格的原料不相互成捆。
于是根据要求将每种长度每捆所需的原料加起来，长度总和会等于89米；每捆中每种长度的所需的根数加起来，根数总和会等于20根；再对变量进行一些条件限制，再用Lingo软件进行编程和求解，就可以得到每种规格原料单独成捆的最大值，且每捆中对不同长度的原料所需要的根数。
将每种规格所得到的捆数最大值相加，便是组成成品捆数总和的最大值。
对于D题中的其余的问题：
在问题Ⅰ的基础上，我们将改进第一个模型，考虑并允许一定的误差，即每捆总长度允许有米的误差，总根数允许比标准少一根，且可以将原料进行降级使用，也就是说考虑不同规格的材料在多余的情况下可掺杂使用，这样可以尽可能使材料的利用率达到最大，成品的捆数达到最大化。
那么我们将对模型Ⅰ进行进一步的推广与优化，具体模型改进如下：
在模型Ⅰ的基础上，我们将增加变量和误差性分析，将原料不同的长度和根数设为变量，这样计算出来的结果比较符合实际。
最后我们对所建模型进行灵敏度分析检验，以及对其评价与推广。
关键词：
线性规划灵敏性分析Lingo
一、问题重述
天然肠衣经过清洗整后被分割成长度不等的小段，既为原料。
然后由工人变丈量变心算，将其按指定根数和总长度组成成品。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如3~3.5米按3米计算，3.5~3.9米按3.5米算，以此类推。
通常成品规格有下表中3种：
最短长度
最大长度
根数
总长度
3
6.5
20
89
7
13.5
8
89
14
∞
5
89
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表，根据对成品和原料的描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
公司对搭配方案有以下具体要求：
（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
（3）为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少一根；
（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
如长度为14米的原料可以和长度介于7~13.5米的进行捆扎，成品属于7~13.5米的规格；
（5）为了食品保鲜，要求在30分钟内产生方案。
最后建立上述问题的数学模型，并对题中所给的数据进行求解，给出搭配方案。
二、基本假设:
1.切割过程中原料不发生损失；
2.工人技术娴熟，不会出现误差；
三、符号说明
：
各肠衣长度的总根数（=）
：
各长度分别使用的根数（=）
：
各肠衣的长度（=）
：
第一种规格最多能装的捆数
：
第二种规格最多能装的捆数
：
第三种规格最多能装的捆数
：
第一种规格的捆数
：
第二种规格的捆数
：
第三种规格的捆数
：
所剩肠衣能被截出符合规格一的根数（=）
：
所有肠衣的总捆数
四、模型建立
（一）基本模型
从问题入手，我们不难得出我们应该建立何种目标。
我们的目标是根据某种规格的材料单独包装，尽可能使得包装的捆数越多越好。
所以我们的目标函数应为所有成品包装的捆数总和。
由此我们可以建立以下的目标函数：
模型Ⅰ目标1
模型Ⅱ目标2
很明显我们可以看出这是一个简单的线性规划模型方程。
（二）建立基本模型
2.1模型Ⅰ
根据题目，要设计一个使得捆数最多的情况，我们应该注意以下几个因素：
1、不能把材料截断处理，多余的材料当成废料；
2、尽量把未知量用的越少越好
模型Ⅰ分析
46种不同规格的材料分别包装成捆，在3-6.5m之间的肠衣为第一种规格且包装的根数在20根，总长度保持一定，单独把这种的包装成独立的捆数。
把第二种、第三种规格的材料也按照同样的方法计算，算的最后的结果。
模型Ⅰ求解
通过问题分析，我们得到：
因为不能把材料截断处理，我们也一定要最大限度利用材料，使得捆数最多。
=;
=/89;
=/20;
=（,）;
43;59;
39;41;
27;28;
34;21;
（）;
变量
根数
变量
根数
变量
根数
变量
根数
变量
根数
23
42
27
22
28
16
43
24
54.48
42
12
59
24
18
45
2
39
20
25
49
0
41
25
50
6
15.1
21
62
0
18
23
52
0
34
21
35
63
0
21
18
29
49
1
31
30
35
捆数
14
14.005
14
41
43.685
41
136..2
135
135
所以=14+41+135=190
模型Ⅱ
模型分析及求解
在误差应允许的范围内，每捆的总长度可以上下波动0.5m，根数可以少一根。
由此我们可以建立以下的模型：
=/89
=/20
肠衣的捆数可以少一根，所以
19
每捆肠衣的总长度可以0.5m，所以
88.5
把后面两种规格多余的材料来截成第一种规格的材料来使用，由此我们可以得到以下式，所以
=/89
=/20
把我们得到的不同算法的最多捆数来比较，较小的即是我们能得到的最佳捆数，所以
=（,）
=（,）
第二种规格的肠衣可以装成的捆数，所以
第三种规格的肠衣装成的捆数，所以
剩下的材料即总材料减去用完的材料，所以
（）
我们就可以得到总共的捆数，所以
所以=186
五、模型的检验与灵敏度分析
（一）灵敏度分析
灵敏度分析具有非常重要的意义，通过对灵敏度的分析，可以知道模型对哪些参数的变化敏感，从而可以确定各影响因子对模型的影响程度。
六、模型的评价与推广
1、模型的优点
对于模型Ⅰ，它的方案较简单，只是根据三种规格分别单独装在一起，计算方法简单，思路较清晰，易于理解；对于模型二，它是在模型Ⅰ的基础上进一步提升的，因此，计算结果更精准，对于不同批次、不同长度和根数的原料也可以计算得出，即可移植性强，原料使用率也更高，更能符合实际。
2、模型的缺点
由于这是在实际基础上经过理想化假设的数学模型，因此这个模型也存在一些缺陷：
1、对于模型一，由于模型是建立在静态模型下，即只是将题中所给的一批原料的长度和根数的具体数据进行处理，也就是不可变性。
所以模型不能很好的处理变化，可行性不大。
2、对于模型二，由于增加了变量，加大了计算量，运算起来较为复杂。
3、模型的改进
模型Ⅰ的原料使用率不高，所以在做改进的时候可以针对这一方面具体操作，而模型Ⅱ的计算较复杂，量也较多，所以在做改进的时候就针对这方面具体操作。
4、模型的推广
该问题可以推广到多种情况，可以用来组合下料的问题，既可以使原料剩余达到最少，又可以使成品达到最大化，即原料使用率最高。
参考文献
[1]J.P.伊格尼齐奥著，闵仲求等译《单目标和多目标线性规划》上海同济大学出版社1982
[2]实用下料问题，
[3]徐崇刚等，生态模型的灵敏度分析，
附录
表2原材料描述表
长度
3-3.4
3.5-3.9
4-4.4
4.5-4.9
5-5.4
5.5-5.9
6-6.4
6.5-6.9
根数
43
59
39
41
27
28
34
21
长度
7-7.4
7.5-7.9
8-8.4
8.5-8.9
9-9.4
9.5-9.9
10-10.4
10.5-10.9
根数
24
24
20
25
21
23
21
18
长度
11-11.4
11.5-11.9
12-12.4
12.5-12.9
13-13.4
13.5-13.9
14-14.4
14.5-14.9
根数
31
23
22
59
18
25
35
29
长度
15-15.4
15.5-15.9
16-16.4
16.5-16.9
17-17.4
17.5-17.9
18-18.4
18.5-18.9
根数
30
42
28
42
45
49
50
64
长度
19-19.4
19.5-19.9
20-20.4
20.5-20.9
21-21.4
21.5-21.9
22-22.4
22.5-22.9
根数
52
63
49
35
27
16
12
2
长度
23-23.4
23.5-23.9
24-24.4
24.5-24.9
25-25.4
25.5-25.9
根数
0
6
0
0
0
1
求出A的值
Linearizationcomponentsadded:
Constraints:
5
Variables:
3
Integers:
2
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
14.00000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
13
VariableValueReducedCost
A14.00000-1.000000
A114.000000.000000
X143.000000.000000
X259.000000.000000
X339.000000.000000
X441.000000.000000
X515.100000.000000
X628.000000.000000
X734.000000.000000
X821.000000.000000
A214.005000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
114.000001.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.00000
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